介绍 Brouwer不动点定理和 Schauder不动点定理及其简单应用。 Brouwer不动点定理及其应用 (一) Brouwer不动点定理 ( Brouwer:荷兰人1881-1966) 定义(凸集): X为一集 若 则称A为X 的凸子集 定理1( Brouwer不动点定理): 设为的有界闭凸集 连续,则 证:1、若 证明如下:不妨设 作辅助函数 显然在上连续 从而变成证明 使 即可 显然 否则 则0为f之不动点; 否则 则1为f之不动点: (证毕)由连续函数的介值性定理的推论:根的存在定理可得 使 证毕。 2、若 ,其证明方法很多,其中纯分析方法的证明要 用到场论中旋度的概念,且很繁,而简洁的证明要用到拓扑学中 映象度理论,因而希望对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点 定理及其应用》,或一般常微分方程教材的附录。 3、注意到 Brouwer不动点定理中的条件是不可缺少的,但某些 条件可以减弱。 下面我们讨论 Brouwer不动点定理的应用 )证明代数基本定理 代数基本定理 复系数一元n次方程 至少有 个复根。 证:令介绍Brouwer不动点定理和Schauder不动点定理及其简单应用。 一、Brouwer 不动点定理及其应用： （一）Brouwer 不动点定理 （Brouwer：荷兰人 1881-1966） 定义（凸集）： X 为一集, 若 则称 A 为 X 的凸子集。 定理 1（Brouwer 不动点定理）： 设 为 的有界闭凸集， 连续,则 使 . 证：1、若 证明如下：不妨设 作辅助函数 显然 在 上连续. 从而变成证明 使 即可. 显然: 否则 则 0 为 f 之不动点; 否则 则 1 为 f 之不动点: (证毕)由连续函数的介值性定理的推论：根的存在定理可得 使 证毕。 2、若 ,其证明方法很多，其中纯分析方法的证明要 用到场论中旋度的概念，且很繁，而简洁的证明要用到拓扑学中 映象度理论，因而希望对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点 定理及其应用》,或一般常微分方程教材的附录。 3、注意到 Brouwer 不动点定理中的条件是不可缺少的，但某些 条件可以减弱。 下面我们讨论 Brouwer 不动点定理的应用。 （二）证明代数基本定理： 代数基本定理： 复系数一元 n 次方程 至少有一 个复根。 证：令