《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 问题1设f(x)=sinx±cosx,求(x): 分析利用导数的定义及极限的四则运算知，厂(x)=cosx干sinx=(snx)士(cosx).即 (sin x+cosx)=(sin x)'(cosx)' 一般地，有如下和的导法则： 定理1（和的导数）设f(x),()在x点可导，则 [f(x)±g(x)=f(x)±g(x)(求导是线性运算) 证明令x)=f(x)+gx) y-[fx+△x)+gx+△x】-[fx)+gx] Ar -f(x+Ax)-f(x).g(x+Ax)-g(x) →f"(x)+g'(x)当△r→0时。 问题2设f(x)=snxa,则(x)=(sinx)-(a'Y=cosx·a.ha对吗？ 分析一般地，有如下乘积的求导法则： 定理2（积的导数）设f(x),x)在x点可导，则 [fx)g(x)川=f"(x)g(x)+fx)g(x)(它导它不导，它不导它导，然后加起来) 证明 令x)-fx)g(x) 是-九+8-/8四 △r (分子-f(x)gx+△r)+f(x)gx+△x》 :但a+a+ △r →f"(x)g(x)+f(x)g'(x)当△x→0时。 1 (u(x)v(x)w(x)y(xo)=u(xo)v(xo)w(xo)+u(xo)v(xo)w(xo)+uo)v(xo)w'(xo) 推论2若函数(x)在x知可导，C为常数，则(Co(x),=Cv(x) 月题3设国=求r 分析：. 一般地，存如下商的运算法则： 定理3（商的导数）设/)，8)在x点可导，则《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 2 问题 1 设 f (x) = sin x  cos x ,求 f '(x) . 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知, f '(x) = cos x  sin x = (sin x)'(cos x)' .即 (sin x  cos x)'= (sin x)'(cos x)' 一般地,有如下和的导法则： 定理 1（和的导数） 设 f (x) , g(x) 在 x 点可导,则 [ f (x)  g(x)] = f (x)  g(x) （求导是线性运算） 证明 令 y(x) = f (x) + g(x) ( ) ( ) 当 0时。 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] →  +   →  +  − +  +  − =  +  + +  − + =   f x g x x x g x x g x x f x x f x x f x x g x x f x g x x y 问题 2 设 x f (x) = sin x  a ,则 f x x a x a a x x '( ) = (sin )'( )'= cos  ln 对吗？ 分析 一般地,有如下乘积的求导法则： 定理 2（积的导数）设 f (x) , g(x) 在 x 点可导,则 [ f (x) g(x)] = f (x) g(x) + f (x) g(x) （它导它不导,它不导它导,然后加起来） 证明 令 y(x) = f (x) g(x) 当 时。 分子 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) →   +    →  +  −  +  +  +  − = −  +  +  +   +   +  −  =   f x g x f x g x x x g x x g x g x x f x x f x x f x f x g x x f x g x x x f x x g x x f x g x x y 推论 1 ( ( ) ( ) ( ))'( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u x v x w x x = u x v x w x + u x v x w x + u x v x w x . 推论 2 若函数 v(x) 在 0 x 知可导,C 为常数,则 (cos( ))' '( ) 0 0 x C v x x x =  = . 问题 3 设 x a f x a x log ( ) = ,求 f '(x) . 分析： . 一般地,存如下商的运算法则： 定理 3（商的导数） 设 f (x) , g(x) 在 x 点可导,则