易见，若H。→H,则H。唯一。因为若H.→H,和H,→H则e>0N,n>N有p(H, H。)>e/2和p(Hm,H:)<e/2同时成立，从而由 p(H。,H,)p(H。,H,)+p(H,Hw)<e/2+e/2=e 由e的任意性知，p(H。,H,)=0,即H。=H1。 定理1设H是Hilber?空间，K,是H上的有界线性算子列，且|K,-K→)，则ImY。 ImK 证：廿x∈ImK,1p∈H,使Kp∈x,对x.三K.p可得xm-x‖=Kp-Kpl≤lK. -K川·p+0。所以e>0,ZN,n>N和x‖<1，pll≤M)-一致地有lx,-x‖<M·e,从 而，若S表血K中闭单位球有：？ap(,)M.e 又设S,有ImK,中的闭单位球，由Kn-K→0从而对充分大的n、S,的诸原象集一致 有界。设廿x'∈S.,只要K,p=x'都有lpM,则对+ε>0IN,n>N有‖K。-Kl< e/M,从而对Kp=x'∈ImK,有lx'-x‖=‖K.pKpl≤K.-Kl·‖p<ε 即sup inf p(x',x)<e,从而有limImK,=ImK。 xP∈Sex●∈ImK (注这里用了有界线性算子对有界闭集的原象集是闭的。) 定理2对廿f∈ImK,f=已（f,)),这里{)}是ImK,的完备标准正交函 数系，则只要‖K。-K川+0，就有f→f。 证：注意到f是f在ImK.上的正投影，从而f-f川=inf lf-f‖在lf牛0时 f●EImK, F-f≤f·if7IfI-f/1fl <lfl·inff-f/fil ●∈ImKn fp(ImK.,ImK) 对上述不等式两端取极限即可完成证明：（f=0,f三0) 以下讨论方程(1)的近似解法。 设K.是一串Nocther算子例，且K.-K-0,做子.=，三f,)5,这里《5， i=1,2,…+∞是ImK.的完备标准正交函数系，从而方程 Kp。=fn (4) 是可解的，且有唯一解。为证(4)的解是(1)的近似解，首先证明： 定理3对/e1mK了=于f5),且K,p=于和Kp=f,则imp=p。 证：由f-f=K.p-Kp=K.p-Kp+Kp-Kp,从而Kp-Kp1=i(f-f)-(K.p 392易见 ， 若 。 。 则 。 唯一 。 因为若 ， 、 。 和 ， ， 则丫。 。 三 ， ” 有 万 ， ， 。 和 ， 。 同时 成立 ， 从 而 由 尸 。 ， ， ·、 ’ 户 。 ， ， 户 ， ， 。 由 的 任 意性 知 ， 川 。 ， ， 二 ， 即 。 ，。 定理 设 是 空间 ， 、 是 上 的 有界线性算 子 ， 且 瓦 。 一 ， ，， 贝叹。 丫 了功 证 任 ， 甲 任 ， 使 ， 任 ，对二 ， 三 。 尹 可得 二 ， 一 二 。 ， 一 叫 簇 。 一 · ， 、 。 所 以 ， ， 和 二 ， ， 迄 ‘ ’一 致 地有 。 一 二 · 。 。 从 而 ， 若 表 中闭单位球 有 川 盆 ， ， 任 ， ‘ 之 一 仁任 二 又设 有 。 中的闭单位球 ， 由 一 ， 从 而对充分大 的 ， 、 的诸原象 集一致 有 界 。 设 丫丫 任 。 ， 只 要 。 尹 ‘ 都 有 】叫卜 ， 则对 丫 。 三 ， 。 有 一 ￡ ， 从 而对 甲 任 ， 有 ‘ 一 ’ 甲 列 簇 日 ， 一 日 · 叫 户尸 户 “ ‘ ， ‘ 。 ， 从而 有 。 。 ‘ ’ 注这 里 用 了有 界线性 算子对 有界闭集 的原象集是 闭 的 。 定 理 对 〔 ， ， 彭 ’ 酬” ， 这 里 彭 是 的完备标准正 交函 数 系 ， 证 则 只要 ， 一 ， 。 ， 就有 、 注 意到 是 在 上 的正投 影 ， 从而 一 任 。 一 】 在 今。 时 一 仁 泛 · 一 ‘ 思 ，口 ， ’ 一 ’ ” 丈 ， 对上述 不等式 两端 取极限即可完成证 明 以下 讨论方程 的近似解法 。 设 。 是一 串 。 算子例 ，且 ， 二 ， 一 ， 做 。 乙 ， 酬 “ 歼 ’ ， 这 里 “ ‘ ” ， ， ” 一 是 的完备标 准正 交函数 系 ， 从而方程 。 甲。 二 是可 解的 ， 且 有唯一 解 。 为 证 的解是 的近似解 ， 首先证 明 定 理 对 任了 厂气只 酬” 酬” ， 一 且 · 甲 和 卯 ， 则 兜甲 甲 。 证 由 一 。 歹 一 ， 。 萝 一 乒 拭 一 甲 ， 从而 场 一 叫 一 一 乒