负指标的Cauchy奇异积分方程的近似法

D0I:10.13374/i.issn1001053x.1990.04.031 北京科技大学学报 第12卷第4期 Vol.12 No.4 1990年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing Ju1y1990 负指标的Cauchy奇异积分 方程的近似法 兰 贞升* 摘要：构造了负指标的奇异积分方程的近似解法，并且给出了求近似解的一般方法。 关键词：算子，指标，奇异积分，近似解 Approximate Method to Slove the Equation with A Cauchy's Kernel Lan Zhensheng' ABSTRACT:The approximate solution of the singular integral equation with a negtive index is developed and it gives a general method to develop the solution. KEY WORDS:p-operator,index,singular integral equation,approximate so- lution 一般奇异积分方程近似解法的研究，都限于非负指标一即无条件可解的情形。对于方 程，KP=f (1) 其中K的指标记为IndexK=K<0,此时只有f满足若干可解条件，方程(I)才是可解 的。即使在(1)可解时，构造K.,f.,使lK。-K→0和f.→f,但是近似方程： Ko:=fn (2) 1989-09-21收稿 ·数力系(Department of Mathematics and Mechanics) 389

加叭 第 卷第 期 北 京 科 技 大 学 学 报 年 月 负指标的 奇异积分 方程的近似法 帐 立乙 才 州 二二 只 刀 山 摘 要 关 键 词 构 造 了负指 标的 奇异 积 分 方程的近 似解法 ， 并且 给 出 了求近 似解的 一 般方 法 。 乡算子 ， 指标 ， 奇 异积 分 ， 近 似解 、 ‘ 夕 万 。 少 一 ， ， ， 一 权 润、 ‘ 一般 奇 异积分 方程近似解 法的 研 究 ， 都限于非 负指 标— 即无 条件可 解 的情形 。 对 于 方 程 ， 甲 其 中 尤 的指标记为 ， 此时 只有 满足若干可解条件 ， 方程 才是可 解 的 。 即使 在 可解时 ， 构造 ， ， 。 ， 使 。 一 尤 一 。 和 ， 了 ， 但是近似方程 尤 。 伞 ， 一 一 收 稿 数力系 皿 DOI ：10．13374／j ．issn1001—53x．1990．04．031

也未必是可解的。本文试就此问题探讨方程(1)的近似求解方法。 1负指标的Noether算子方程 设H是Hilbert?空间，K是H→H上的中（或Nocther)算子，即指K为稠定的闭第子，它 满足：(1)是正规可解的，即ImK=(ImK),ImK表示K的值域。 (2)a(K)=dim(KerK)<+o (3)B(K)=dim(CokerK)=dim(ImK)<+∞此时，IndexK=a(k)-B(K)=k, 在k<0时，只考虑a(K)=O,即B(K)=-K的梢形，这时有CokerK=KerK·,dim(Kcr K)=-R 设KcrK·的一组标准正交基为{，}，i=1,2,…-k,注意到(ImK)1=(ImK)正 CokerK=KcrK·,从而方程(1)可解的允要条作为：(f中)=0i=1,2,·-k。 对于中-第子，K,做K,使1K,-K<e,则由于中-算子集合为开集，从而对允 分小的ε，五，也是少-第子，且由于算子中-受到范数充分小的算子干扰时，其指标是稳定 的，故有：IndexK=IndexK 对于tf∈ImK,记f为f在ImK,上的正投影，出设{)}为ImK.的完备标谁正交函数 系（其中i=1,2,…+∞）则 7=Σ(U5)5 此时，方程 K.p=f (3) 是有唯一解的，以下证明p-p（n·+∞) 为此先定义空间集上的度量和收敛。设2为1 Hilbert空间H的所有附线性子空间的集 合。 定义1VH1,H2∈2做 p(H1,H2)=Max{p12(H1,Hz),p21(H2,H:)} 其中，p12(H1,H2）=sup inf p(x1,xz) r1∈S1x:EⅡ： p12(H2,I1)=sup inf p(x2,x1) 这里的s!是H中的附单位球，s2是H中的闭单位球，山p(·)是H上的距离，称p(H1, H,)为H1和112的距离。 以下验证其满足距离公理： (1)p(H1,H2).0p(H1,H2）=0<→H1=I2 证：前者显然，对于后若，指p(H1,H2)=0则计x1Es1行，in〔p(x1,x2)=0,以 z:t M2 及对tx2(s2行1nfp(x:,x,)=0,从i有s1二I2is2二fH1,即有I1=1x。 IEH 390

也 未必是可 解的 。 本 文 试就 此 问题探 讨方程 的近似求解方法 。 负指标 的 算子 方程 设 是 空间 ， 入 是 、 上的必 或 算子 ， 即指 为 稠 定的 闭算 一 子 ， 它 满 足 是 正规 可 解的 ， 即 二 了 ， 表示 的值域 。 刀 二 此 时 ， 。 一 刀 ‘ ， 在、 时 ， 只 考虑 。 ， 目 刀 一 、 的情形 ， 这 时有 ， 一 化 设 的一 组标准 正 交 墓为 势 ‘ ， ， ， · · · “ 一 ， 注 意 到 左 ‘ ‘ ’ ， 从而 方程 可 解的 充要 条 件为 价 二 ， ， ” · ” 一 气 对 于中 一 算子 ， ， 做 ， ， 使 ， 一 。 。 ， 则 由于中 一 算 子集 合为 开 集 ， 从 而 对 充 分 小 的。 ， ， ， 也是必 一 算 子 ， 且 由于 算 并巾 一 受到 范 数充分小 的 算子 干 扰 时 ， 其 指标是 稳定 的 ’ 了 ， 故有 ， 对 于 任 入 ， 记 为 在 ， 。 上 的 正 投 影 ， 且 设 以” 为 ， 的完 备标 准正 交 函数 系 其中‘ ， ， “ 一 则 万 二 ‘ ’ 互” 此 时 ， 方程 。 甲 是 有唯一 解 的 ， 以下 证 明甲 甲 为 此 先定义空 在集上 的度 量 和收敛 。 设 口 为 空 间 的 所 有闭线性 子空 问的集 合 。 定 义 丫 ， 任 口 做 ， ， 万 ， ， ， 其中 ， 万 ， ， ，“ 二 一 之 万一 之 ， ， 户 ，义 一 仁 这 里 的 ，是 川 ，的 闭 单位球 ， 是 川 ，的 闭单位球 ， 且爪 · 足 上 的距 离 ， 称 川 ，， 为 和 的距 离 。 以下 验 证其满足距离 公理 户 万 ， 一 ， 万 二 二势 证 前 者显 然 沐 ’ 于后 ， 六 ， 若 户 ， 汀 则 丫 ， 吐 ， 有 ， ， 户 ， ， 以 及对 丫 七 有 ， 尸 ， ， ， 从 一一有 二 和 泣 ， ︺ 有 ， 。 了

反之，若H1=H,由H:和H2的闭性，infp(x1,x2)=infp(x2,x)=0,从而 22EH2 x:∈H: p(H:,H2)=0 (2)p(H1,H2)=p(H2,H:) 证：由 p(H1,H2)=Max{sup inf p(x1,x2),sup inf p(x2,x1)} r1∈51工2∈H生 r2∈32F1∈W: =Max sup inf p(x2,x1),sup inf p(x1,x2)} 元2∈「2r1∈H, :1∈1x2EH2 (3)p(H1,H2)≤p(H,H,)+p(H,H2)H∈2 证：设S,是H,中的单位球，X,∈IH,i=1,2,3,有X:∈H从而，p(x1,x)≤p(x1, x3)+p(xa,x2),这时sup inf p(x1,x2)sup inf〔p(x1,x3)+p(x3,x,)门由 x1∈5123e∥2 里1∈31￥2∈H2 H3中元素x3的任意性，可得 sup inf p(x1,x2)sup inf inf [p(x1,x3)+p(x3,x2)) x1∈1￥2EH2 x1E11±3∈53r2∈且2 =sup inf〔p(xi,xa)+infp(x3,x2)〕 z1∈51x3∈13 工2∈H2 sup [inf p(x1,x3)+sup inf p(x3,x2)]() 1∈F1x3∈53 工3∈53工2∈H2 sup inf p(x1,3)+sup inf p(x3,x2)() x1∈51x3∈于3 03∈13工2∈H2 =sup inf p(x1,x3)+sup inf p(x3,x2) 工111F3∈H3 x3∈53r2∈H2 注：()这里用了inf(A+B)≤infA+supB,()这里用了sup inf p(x1,x3)= x1∈51t3∈43 sup inf p(×1,xa) a1∈11x3EH3 类似可以证明： sup inf p(x1,x2)sup inf p(x2,x3)+sup inf p(x1,x3) x2∈2x1∈H1 x2∈12x3€f3 ±3∈53x1∈H1 (H1,H3)=Max{sup inf p(x1,x3),sup inf p(x3,x1)} t1∈51x3∈H3 ×3∈J3工1∈H1 p(H3,Ha)=Max sup inf p(x3,x2),sup inf p(x3,*1)) x3∈53x2∈H2 x2∈J23∈H3 从而有p(H1,H2)≤p(H1,Ha)+p(H3,H2) 定义2设{H。}为2中一序列H,∈2，若1imp(H.,H)=0,称在n-→o∞时，H,- 000 H.记为limH。=H。 391

反 之 ， 若 ， 由 ， 和 的 闭性 ， ， 二 ， ， 从 而 二 任 二 任 ， 户 ， 证 由 ， 人 ， 二 ，， ， ， 月 二 任 了 止 任 ︸二 二 ， 二 工 ， 二 任 ‘ 一 任 万 户 ， ， 。 二 任 万 ， 万 泛 ， ， 证 设 ‘是万 ‘ 中的单位球 ， 万 ， ， 二 户 ， ， 这 时 ， 任 中元 素 的 任 意性 ， 可 得 ‘ 任 ‘ ， 户 ， ， ， ， 工 任 刀 工 七 任口 有 ‘ 任 从 而 ， 户 ， 二 毛 二 ， 〔户 ，， ， 〕 由 任 工 ， 沈 戈 ， 〔 工 ， ， 户 劣 ， 义 〕 二 任 任 之 是 二 母 ‘ 二 任 印 ， 劣 ， 〕 之 任 了 工 任 任了了 〔 户 ， 二 任 了 二 任 户 ， 〕 ‘ 刃 任 、 ‘ 岌二 任 ‘ 沉 ， 。 二 任 ‘ 二 任 月 户 ， 火 ， ， “ 户 ， 户 ， 任 二 任 二 任 ‘ 二 任 注 ’ 这 里 用 了 簇 ， 辛 这 里 用 了 ， ， 任 二 任 二 任 了 劣 ， 二 打 类 似可 以证 明 户 劣 ， ， 义 户 ， 户 ， 戈 二 任 丁 工 任 二 任 工 任 二 任 二 任 “ 又 由户 ， ，万 凌二 已 ， ， 工 任 月 二 任 任 户 ， 劣 ， 户 万 。 ，万 人 二 任 ‘ ， ， 任 二 任 户 工 ， 工 ， 二 任 从而 有尸 ， ， 蕊 户 ， ， 户 ， 定 义 设 王万 为 口中一序列 任日 ， 若 。 ， 。 ， 称 在 。 、 时 ， 。 忿 一奋 ‘ 目 。 记为 。 万 。 万 。 气 斗 卜 沈

易见，若H。→H,则H。唯一。因为若H.→H,和H,→H则e>0N,n>N有p(H, H。)>e/2和p(Hm,H:)0,ZN,n>N和x‖0IN,n>N有‖K。-Kl< e/M,从而对Kp=x'∈ImK,有lx'-x‖=‖K.pKpl≤K.-Kl·‖p<ε 即sup inf p(x',x)<e,从而有limImK,=ImK。 xP∈Sex●∈ImK (注这里用了有界线性算子对有界闭集的原象集是闭的。) 定理2对廿f∈ImK,f=已（f,)),这里{)}是ImK,的完备标准正交函 数系，则只要‖K。-K川+0，就有f→f。 证：注意到f是f在ImK.上的正投影，从而f-f川=inf lf-f‖在lf牛0时 f●EImK, F-f≤f·if7IfI-f/1fl <lfl·inff-f/fil ●∈ImKn fp(ImK.,ImK) 对上述不等式两端取极限即可完成证明：（f=0,f三0) 以下讨论方程(1)的近似解法。 设K.是一串Nocther算子例，且K.-K-0,做子.=，三f,)5,这里《5， i=1,2,…+∞是ImK.的完备标准正交函数系，从而方程 Kp。=fn (4) 是可解的，且有唯一解。为证(4)的解是(1)的近似解，首先证明： 定理3对/e1mK了=于f5),且K,p=于和Kp=f,则imp=p。 证：由f-f=K.p-Kp=K.p-Kp+Kp-Kp,从而Kp-Kp1=i(f-f)-(K.p 392

易见 ， 若 。 。 则 。 唯一 。 因为若 ， 、 。 和 ， ， 则丫。 。 三 ， ” 有 万 ， ， 。 和 ， 。 同时 成立 ， 从 而 由 尸 。 ， ， ·、 ’ 户 。 ， ， 户 ， ， 。 由 的 任 意性 知 ， 川 。 ， ， 二 ， 即 。 ，。 定理 设 是 空间 ， 、 是 上 的 有界线性算 子 ， 且 瓦 。 一 ， ，， 贝叹。 丫 了功 证 任 ， 甲 任 ， 使 ， 任 ，对二 ， 三 。 尹 可得 二 ， 一 二 。 ， 一 叫 簇 。 一 · ， 、 。 所 以 ， ， 和 二 ， ， 迄 ‘ ’一 致 地有 。 一 二 · 。 。 从 而 ， 若 表 中闭单位球 有 川 盆 ， ， 任 ， ‘ 之 一 仁任 二 又设 有 。 中的闭单位球 ， 由 一 ， 从 而对充分大 的 ， 、 的诸原象 集一致 有 界 。 设 丫丫 任 。 ， 只 要 。 尹 ‘ 都 有 】叫卜 ， 则对 丫 。 三 ， 。 有 一 ￡ ， 从 而对 甲 任 ， 有 ‘ 一 ’ 甲 列 簇 日 ， 一 日 · 叫 户尸 户 “ ‘ ， ‘ 。 ， 从而 有 。 。 ‘ ’ 注这 里 用 了有 界线性 算子对 有界闭集 的原象集是 闭 的 。 定 理 对 〔 ， ， 彭 ’ 酬” ， 这 里 彭 是 的完备标准正 交函 数 系 ， 证 则 只要 ， 一 ， 。 ， 就有 、 注 意到 是 在 上 的正投 影 ， 从而 一 任 。 一 】 在 今。 时 一 仁 泛 · 一 ‘ 思 ，口 ， ’ 一 ’ ” 丈 ， 对上述 不等式 两端 取极限即可完成证 明 以下 讨论方程 的近似解法 。 设 。 是一 串 。 算子例 ，且 ， 二 ， 一 ， 做 。 乙 ， 酬 “ 歼 ’ ， 这 里 “ ‘ ” ， ， ” 一 是 的完备标 准正 交函数 系 ， 从而方程 。 甲。 二 是可 解的 ， 且 有唯一 解 。 为 证 的解是 的近似解 ， 首先证 明 定 理 对 任了 厂气只 酬” 酬” ， 一 且 · 甲 和 卯 ， 则 兜甲 甲 。 证 由 一 。 歹 一 ， 。 萝 一 乒 拭 一 甲 ， 从而 场 一 叫 一 一 乒

-K)≤f-f+K.-K'·P由K,K正规可解，所以K和K.分别限制在各自值域 上的逆算子Γ和P,有界，由f→f知{f}是有界的（相对于不同的n),从而{P有界 即1 imlKo-Kpl=0 若记K(p-p)=,则p-p=「中 从而limilp-gl!=1im'T(Kp-Kp)l=0 推论、寸e>0、王N和M使只要n>N,m>M有 iip.-ii0、 1M使m>M有 f-fe/2C C为常数 IN使n>N有p-pe/2 由K。-K-→0及T。--→0，从而T.关于r一致有界，记P。‖C,则 ipn-pl=ip。-p+p-pl ≤liT.(f。-f)川+lp-pl ≤C.f.-f川+p-p <8 容易证明若记o,是ImK→ImK的有界线性算子，只要1imo。-I‖=0这里I为恒同算子，则用 σ.f替代前边用过的f,结论同样成立（设P,是ImK到ImK.上的正投影算子，则f=P,f)。 J 2负指标的Cauchy:核奇异积分方程的近似解法 在方程(1)中，若记K=AI+BS.其中A(p())=A()p(),B(9()=B(t)p(),S (p()=(1/ri),p(r)/(r-)drA(t),B(t)是1上的连续函数，且满足older条件及A2 (t)-B2(t)在1上无零点，f()在1上满足H61cr条件，1为一条简单的光滑（或分段光滑）闭 曲线则方程(1)就变为 (AI+BS)=f (5) 若X+()是(5)对应的Riemann问题+=G(t)④-+f/(A(t)+B(t)的齐次问题标谁解的内 393

一 初 镇 厉 一 州 洲 犷 ， 一 州 · 脑 油 ， 。 正 规 可 解 ， 所 以 和 。 分 别限 制 在各 自值 域 上 的逆 算子 月口 和 ， 有界 ， 由 知 是有界的 相对于不 同的 ， 从而 甲 有界 尤 沪 一 兀 列 二 若 记 甲 一 尹 劝 ， 则 甲 一 ， 厂 势 从 而 ， 一 列 厂 尹 一 尤 ， 川 。 推 论 、 丫 。 、 万和 万 使 只要 。 ， 。 有 、 、 ， 尹 ， 一 甲州 ￡ 这 里 切 。 是 的解 ， 甲是 的 解 证 由 。 一 川 “ “ 云 犷 ‘夕 ’ 卜 艺 咨杏 ” ’ 。 。 〔。 、 。 ， 从 而 ， 三 使川 有 。 一 泛。 ， 为 常数 三 使 。 有 切 一 训 。 由 。 一 及 厂 。 一 厂 一 ， ， 从而 厂 关于 一致有 界 ， 记 。 ， 则 卯 二 一 列卜 甲。 一 势 十 甲 一 列 簇 。 、 一 尹 一 甲 毛 · 。 一 卜 甲 一 甲 容 易证 明若 记『。 是 。 的有界线性 算子 ， 只要 口 。 一 到 。 这里 为 恒同算子 ， 则 用 叮 。 替代前 边 用过 的 ， 结论 同样成 立 设尸 。 是 尤到 。 上 的正投影算子 ， 则 尸 。 负指标 的 核奇异积分方程 的 近似解 法 在方程 中 ， 若 记 月 其 中 沪 甲 ， 甲 甲 ， ， ， ‘ 二 ‘ ， · 厂‘ 一 ‘ · “ ， “ 是‘上 的连 续 函数 ， 且满足 ‘ 二 条件及 一 “ 在 上无 零点 ， 在 上 满足 条件 ， 为一 条简单的光 滑 或分段光 滑 闭 曲线则方程 就变为 十 甲 匀 若 十 是 对应 的 二 问题少 中 一 十 厂 理 的 齐次问 题 标 准 解的 内

边界值，则在Index K=KI.K,使 0,(f.）=f.(t)=f.()(A.(t)+B,(t))Xi(t)/(A()+B(t))X(t) 这里X:是K,p=f.对应的齐次Ricmann问题标准解的边界值，容易看出(8)是可解的，山行 唯一解p.(t)。要证p.(t)是(5)的近似解，即lim9,=p只要验明 limK。-K|=0和Iimo。-I=0即可 (1)由K.-KN=(A.-A)I+(B。-B)S1 ≤A,-A+B.-BS 故只要A,(t)*A(t),B,()→B(t)。 (2)o.-I=(A.(t)+B.(t)X(t)/(A(t)+B(t)X+(t)- (A(t)+B(t))X+(t)/(A(t)+B(t))X+(t) limA.(t)=A(t)limB.(t)=B(t)[imX:()=( 所以limo,-I小=0 不难看出，对(5)的相联方程 K'中=g (9) 这里K'=AI-SB做方程 K4的=g 其中K:=A,I-SB,山Index K:=IndexK'=-k>0,(n充分大)从而式(9)、(10)无条作 解，分别心解的完备系为{冲：}和{单x},其中 394

边界值 ， 则 在 、 ‘ 。 时 ， 必 须 满足 ‘ ，， ‘ ， ， ‘ “ “ ，， · · “ ， ‘ “ ， ， “ · 一 一 方程 才是可 解 的 ， 且 有唯 一 个满 足少 的解 〔 ‘ 〕 。 在 这些 条件下 ， 做 。 ， 。 ， 姿冬中搜 净 三 ， ， 及 甲 三 ， 尹 ， 、 。 分 别 是 、 在 上 的 有理 逼 近 〔 · ， 设 ， 是 满 足 的 函 数 的有理逼 近 ， 此 时 沪 二 。 可 解 ， 为 使 口 尸尸 ， 甲 ， ， 可 解 ， 做映 射 ， 。 ， 了 。 ， 使 ， ， ， 。 月 ， 。 丫 言 千 这 里 二是 ， 甲 ， 对 应 的 齐次 问题标 准解 的边 界值 ， 容 易 看出 是 可解 的 ， 唯 一 解 甲 ， 。 要 证尹 二 是 的近似 解 ， 即 尹 甲 只要验 明 子了 ， 一 人 】 不 ， 一 ，卜 。 即可 山 一 二 簇 ， 一 了 刀 。 一 一 十 。 一 到 酬 月与 故 只要 。 一卜 月 ， 。 ” 。 “ 。 一 。 。 言 十 十 由于 ， ， 二 尤 言 ， 所 以 ， 一 刀 二 不难 看出 ， 对 的 相联方程 ’ 护 这里 ‘ 一 做 方程 亡护 其 中 犷 ， 一 ， 、 入 弓 ‘ 一 ‘ ， ， 充分 大 从 而式 、 无 条件 可 解 ， 分 别 记解 的完 备 系为 动 ， 和 咬护 ， 其 中

的4=t/(A()+B(任)X+(t)中=t(A.(t)+B,(t)X(1) 2=0,1,…-K-1 就有0，中：-单，即所取0.是{中：}到{}的标准映射。 致谢：本文受到了容尔谦教授的热楷指导，高瑞测教授也指出了初辞中某些不妥之处，在此一并表示衷心感谢。 参考文献 1穆斯海里什维里HN。（朱季讷译)。奇异积分方程。上海科学技术出版社.1966 2 Walsh J L.Transactions of the American Mathematical Society,1952,(73): 447 3吉田耕作。（吴元恺孙顺华译）。泛函分析，北京：人民教育出版社。1980.9 4关肇直。线性泛函分析入门。上海科学技术出版社.1979.9 不锈钢板坯凝固传热数学模型的研究 太原钢铁公司三炼钢1280立式回转出坯型不锈钢板坯连铸机是我国自行设计、制造的第 一台立式不锈钢板坯连铸机，填补了我国不锈钢板坯连铸机的空白。为了使铸机建成后工程 技术人员了解工艺效果、或根据要求改变工艺参数、开展连铸工艺及铸坯质量的研究。我校 科研人员从连铸坯凝固传热的特点出发，利用数学模型研究法，为镍、铬系不锈钢板坯凝固 传热建立了预报工艺效果的模型。此项研究在园内属首次。 世 395

功 ， 孟 劝 ， 久 二 吉 一 久 ， ， · ” … 一 火 一 就有 ， 叻 ‘ 沪 ， 即所 取 。 是 少 ， 到 鱿 的 标准 映 射 。 致 谢 木文 受 到 了容 尔 谦教授 的 热 情 指导 ， 高瑞副教授 也指出 了 初 稿中某 些不 妥 之 处 ， 在此 一井表 示衷心 感谢 。 参 考 文 献 穆斯海 里什维 里 朱季 访译 奇异 积分方程 上海 科 学技 术 出版 社 ， ， 吉 田耕作 。 吴元 恺 孙 顺华 译 泛 函分析 北京 人 民教育出版 社 关 肇直 线性 泛 函分析 人 门 上海科 学技 术出版 社 、 不锈钢板坯凝固传热数学模型 的研究 太原钢 铁 公 司三炼钢 立 式回转出 坯型不锈钢板 坯连铸 机是 我 国 自行设 计 、 制造 的第 一台立式不锈 钢板坯连铸 机 ， 填补 了 我 国不锈 钢板坯连铸 机 的 空 白 。 为 了使铸机建成后工程 技 术人 员了解工艺效果 、 或根据要求 改变工艺 参数 、 开 展 连铸 工 艺及铸 坯质 量的研 究 。 我校 科 研人 员从连铸 坯凝 固传热 的 特点 出 发 ， 利用 数学模型 研 究法 ， 为 镍 、 铬 系不锈 钢板坯凝固 传热 建 立 了预 报工艺 效 果 的模型 。 此项 研究在国 内属首 次