圆平面分布摩擦情况下的平衡条件

D0I:10.13374/i.issn1001053x.1988.02.039 北京钢铁学院学报 第10卷第2期 Journal of Beijing University Vol.10No.2 1988年4月 of Iron and Steel Technology Apr.1988 圆平面分布摩擦情况下的平衡条件 杨熙冲 (理论力学教研室) 摘 要 本文引用文献〔1,2)巾提出的转动中心的概念，对于接触面积为一圆的情况， 作了兵体分析。通过预设转动中心的位置，导出了转动中心在圆面内或外时的平衡 条件，并算出了一组结果，可供实际应用。 关键词：摩擦，分布摩擦，平衡条件 The Equilibrium Codition of a Body with Distributed Friction Yang Xichong Abstract The distribution of friction is studied,when the contact area between a body and stationary plane is a cycle.This method is based upon the concept of transiant rotation center.The equilibrium condition is obtained,based on the hypothesis that the rotation center is in (on) /outside the contact cycle.A series of parameter values are given. Key words:friction,distributed friction,condition of equilibrium 1987-05一24收稿 271

口 第 卷第 期 年 月 北 京 钢 铁 学 院 学 报 了 。 。 圆平面分布摩擦情况下的平衡条件 杨熙冲 理论力学教研室 沪 摘 要 本文引用文献〔 ， 〕中提出的转动中心的概念 ， 对于接触面积为一圆的情况 ， 作了兵 体分析 。 通过预设转动中心的位置 ， 导 出了转动中心在圆面内或外时的平衡 条件 ， 并算出了一组结果 ， 可供实际应用 关键词 摩擦 ， 分布摩擦 ， 平衡条件 ， 丁 丁 。 ， 加 ， ， 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1988．02．039

前 言 在工程实际应用中，常常会遇到平面分布摩擦条件下的平衡问题，通常采用将力和 力矩分别考虑的方法，看力是否超过最大滑动摩擦力，力矩是否超过滑动摩擦力偶 矩，以此判断物体是否平衡，这种方法在理论上是不正确的，在实用上也是不精确的。 本文将综合考虑力系的总体效应。因此，物体在将失去平衡时的运动趋势，一般情 况下，既不是平动，也不是转动，而是平面运动。预设此时的瞬时转动中心的位置，就 可以找出摩擦力的分布规律，从而得到相应的平衡条件。 1摩擦力系的主向量和主矩 dA 设物体与固定平面的接触面积为一圆，半 P 径为R,如图1所示。且正压力是均匀分布的： fpdA 压力中心与圆心C重合。 1.1转动中心O在圆面积内的情形 如图1所示，设O为转动中心，位于圆面 积内(roc<R)。设摩擦力系的主向量的大小 为F,对O点的主矩的大小为M。:,单位面积 图1r。:≤R时的摩擦力分布 的正压力为力，滑动摩擦系数为f。则行 Fig.I The distribation of friction(ro) F=∫∫fpdA.cosp=s 5fpcosopedodo rr。ccoso+√R2-r。esin2p pdp -2eospdp 〔-r。ccosop+VR2-reesin2p -4f:aCg/21sip4g-g2 sin2p√1-k2sin2pdp〕 8 64 (2m-1)1!12 1 (2°(1)j(n+1)(2m-1)62"-…〕 心fQ〔1-日2-“〕 (1) 式中Q为总正压力，k=r。:/R(<1) Mor=S sfpdA.p=j sfppidodo 272

月 舌 在工程实际应用 中 ， 常常 会遇到平 面分布摩擦条 件下的平衡 问题 ， 通常采用将力和 力 炬分别考虑的方 法 ， 看 力是 否超过最大滑动摩擦力 ， 力矩是否 超 过 滑 动 摩 擦 力 偶 矩 ， 以此判 断物体是 否平衡 ， 这种方 法在理 论上 是不正确 的 ， 在 实用 上也是不精确 的 。 本文将综合考 虑力系的总体效应 。 因此 ， 物体在将失去平衡时 的运动趋 势 ， 一般情 况 下 ， 既不是平动 ， 也不是转动 ， 而 是平 面运 动 。 预设此时 的瞬时 转动 中心的位置 ， 就 可以找 出摩擦力 的 分布 规律 ， 从而得到相应 的平 衡 条 件 。 摩擦力系的主 向量和 主矩 设物体与 固定平面的 接触 面积为一 圆 ， 半 径为 ， 如图 所 示 。 且正压力 是 均匀 分布 的 ， 压力 中心与 圆心 重 合 。 转动 中心 在 圆面积内的情形 如图 所 示 ， 设 为 转动 中心 ， 位于 圆面 积 内 刀 。 设摩擦 力 系 的主 向量 的大小 为 ， 对 点 的主矩 的 大小为 ， 单位面积 的正压 力为 ， 滑 动摩擦 系 数为 。 则有 弋 图 。 。 生 及时 的摩擦力分布 。王 。 兰 〕 · 甲 印 甲 才 、 ， 成气一 甲 、 · 片 甲 一 ，，一 。 甲 。 “ 甲 侧 一 言 。 甲 访不 弄乳万而毛而 一 了 。 。 “ 〔 － 训 一 白 甲 甲 一 ‘ 了 ‘ 一 “ ‘ 、 布〕 兀 曰， ︸ ， 厂 ， 一 ， 下 石下 一 一 几 一 矛 一 兀 九 ‘ 、 、 土 歹 尸、 ， 一万石 一 扮 … 一 丽六丽不 、 。 行 洲、 了‘、几人 二 “ 一创 〔 ， 。 一 一了 佗 白 一 吕 式 中 为 总 正 压 力 ， 寿 。 。 五了。 二 〕 月 · 〕 甲

.=2fpCjg/2gfr.eosetvRe-7ciagp2ip paasj.c p2de] 言fpCW2{6rios4VR-iie +(R2-ri:sin2p)}dp〕 =号/pR〔gW/2（3:+1)VT-kin do [/24h2sin29V1-R2si2gdp] =2R21+2-… -{'a-2-4…门 ≈号fQR〔1+2-品“门 (2) 1.2转动中心在圆面积外的情形 如图2所示，这时r。>R,故 南=发>1，为此，引人新参量：= fpdA R/r。e(R时的摩擦力分布 Fig.2 The distribution of friction(roc>R) F-SSi pd Acoso =2fgfpco9d r。ccoso+√R2-reesin2p Jr。ccosop-√R2-reesin2p pdp =4fprc0cos2pvV-singde 作变量代换，令sinp=k1sin0=sinoosin, 则 273

，， 〔 ‘ 可 。 。 甲 舟 · 训 一 老 。 印 二 ， 一 。 。 甲 识 一 忍 ‘ 甲 “ 甲 么 〕 。 训 一 言 。 犷 吕 印 产、月卫‘了 了 尹 、 兀 ﹄ ， 万口 振‘阳 一“ 。 ‘ 甲 ， ’ ’ 甲 〕 争 〔 “ 、 护 万藏丽万 、 睡 ， 兀 、 一 ’ 印了 一 甲 甲 、夕 备 一 ” · 尸 · 抓“ 备 一 ‘沂 秃 一 立儿 掩 一 一 一 “ 李 一 刀 一 乙 移 一 、 口了 八 。 二七‘ － 以八 〔 ， 。 十 －尺 ‘ 一 鱼 尹 转动 中心在 圆面积外的情形 如 图 所 示 ， 这 时 。 。 ， 故 匕 秃 。 共举 式 为 此 ， 引人新参量 吞 。 。 。 仿照上面的方 法 ， 亦 可分别求 出摩擦 力系 的主 向量和对 点 的主矩 的 大 小 如 下 。 ， 一 印 图 。 。 时 的摩擦力分布 ， ， 。 。 甲 。 ，。 。 、 甲 ’ 。 。 侧 一 言 。 甲 。 甲 一 侧 一 老 印 一 ，， 。 丁 。 。 甲侧石弃 币而 甲 作 变量代换 ， 令 甲 秃， 甲 。 ， 则

k1cosθd0 dp=√1-sim20 又 9=0时，9=09=90时，0=2，由此可得 Ffo1---…-{0品y+m2-D门 f0〔1-g:-6:〕 (3) Mor=j∫fpp2dpdp -g”ano7ty9 p2dp priJosco() 作与上相同的变量代换，得 M。r=号fpr/2{g:(1-5ina0)V1-si0 +好(1-sin20）2y1-ksin0}a0 1 -号fri[W1-si0a8- rπ/2 sin20v1-kisin20d0 g2-0n0j2产2雨 4时29 de] =子fQr〔号+品好+i28i+…〕 fQr〔1+g好+2〕 (4) {或 ≈fQRC居：+g:+2〕} 1.3转动中心正好在圆面积边界上的情形(k=k1=1) 可直接由积分求得 F-10 (≈0.849fQ) (5) 274

甲 歹了了舔不不「 又 甲 ‘ 时 ， 二 饥 甲 二 甲 。时 ， 了 ， 由此可得 。 ， 〔 ‘ 一 扣 一 护 一 票鼠洲〕 ’ 戈而 了认不丽 几 · 一 一 了。 〔卜 扭 一 爵 〕 。 一 ， · 甲 嵘 。 ，， 甲 甲 了 一 忿 。 甲 。 。 甲 一 亿 户万可不矛而 ，曰 、少了 冬了。 。 罗 。 、 了庵万万丽而 。卜 甲 砂 ‘ 甲 作 与 上相 同的变量代换 ， 得 兀 。 一 一 一 含 · 。 ’ 掩贾 一 ‘ ” ‘ 。 ’ 训 ‘ 一 “ “ ‘ ” 八竹︸ 、件了 尝 一 于一荞不不布丽一 二 生 言 ， 二 ’ 叮 “ 爹 “ 。 ’ 侧 ，二福称 砰 。 “ 。 一 。 ‘ “ 。了 一 “ “ ” “ ” 二 。 扮丁布藏藏 叮，白 ， 乙 产 乞二， 介 二 布畜琢厕 。 〕 ﹃ 才 忿，山 左 ， 八 二 了 。 · ， ， － 日 于 “ 全十 … 〕 十 产 一。、 ‘﹄ 一 ‘ 一 〔“ 扣 十 击 “ ， 〕 一 ， 〔最 十 如 静 ， 〕 转动 中心正好 在 回面积边 界上 的情形 寿二 寿 二 可 直接 由积分求 得 口艺 或 厂 去

和 Moe=8fQR(≈1.13fQR) (6) 9x 1.4转动中心在圆心(=0)或转动中心在无穷远(：=0)的惰形 此即通常的仅有转动趋势或移动趋势的情形，对前者，有 P=0,Mcp=号fQR (7) 对后者，有 F=fQ (8) 2平衡条件及平衡范围 作用于物体上的平面力系（实指作用于物体上的诸力在固定平面上的投影构成的力 系)，一般情况下，总可以合成为一合力P,设其大小为P,中心c到其作用线的垂直距 离为d。 2.1P3品0的情形 按式(3)和(4)，物体的平衡条件为 P≤10〔1-君好-是门 (11) P(d+re)≤fQre〔1+骨好+92i〕 (12) 2.3P=F0的情形 按式(6)，物体的平衡条件为 P(d+R)5QR (13) 2.4d=0或P=0的情形 d=0时，按式(8)，物体的平衡条件为 P≤fQ (14) 275

。 八 。 ， ， 。 ， 一 、 止‘ ， 不二二 叼 打 碍 刁 习 。 石 扰 。 转动 中心在 圆心 或转动 中心在无穷 远 的情形 此 即通 常的 仅有转动趋 势或移动趋势的 情形 ， 对前者 ， 有 ， 。 粤 尸 对后者 ， 有 尸 二 平衡条件及平衡范 围 作用 于物体上 的平 面 力系 实 指作用 于物体上的诸 力 在 固定平 面上 的 投 影构 成的力 系 ， 一般情况 下 ， 总可以合 成为 一 合力尸 ， 设其大小为 ， 中心 到 其作用 线 的垂 直距 离为 。 李 的情 形 兀 按式 和 ， 物体的平 衡 条 件为 ，、产， 、产夕一、，， 、沪 、 、 、了 、 ‘ 、 声‘， 妇勺乙 二产、，土占 了 ‘、了、 了‘、 毛气 、 。 ， ， 。 ， 厂 ， ， 。 ， ， 、 厂 、 叼 纪 狡 土 一 落 “ ‘ 一 丽 纪 ’ 夕 一 ， ， 、 ， 。 。 厂 ‘ ， 。 ， ， 、 厂 、 十 厂 二 夕浪 了 叼九 七生 十 万十 一 丽 尺 ” ， ， 募 “ 的情形 按式 和 ， 物体的平 衡 条 件为 、 了。 〔卜 音卜 瓷 “ 〕 尸 · 。 。 、 了 · 。 。 〔 会 ， 击 “ ， 〕 年‘ 矗 “ 的情形 按式 ， 物体的平 衡条件为 ， ， 。 、 一 ， 。 。 ’ 气 十 代 少 、 叭 甘兀 或 二 的情形 。时 ， 按式 ， 物体的平衡条件为 《

P=0时，力系合成为一力偶，设力偶矩为Mc,则按式(7)，物体的平衡条件 为 Mec号fQR (15) 当用式(9)和(10)，或式(11)和（12)判别物体是否平衡时，均可先按第一 个方程式(9)或(11)的等式确定k或k1,再将所有已知值代入第二个方程式(10) 或(12)，看是否满足，以此来判定是否平衡。 对于大小一定的力豆，总可以找到相应的d的最大值da:,（例如对于PfQ, 可按式(13)的等式，找到dn=R)。若以中心c为圆心，以dmx为半径作一圆， 3 只要该力P的作用线与此圆相交（或相切），物体总是平衡的。反之，则将失去平衡。 与力P相对应的这一圆称之为力P的平衡圆，它给出了物体平衡时力P的作用范围。 最后，将对应于不同k和k1值的诸量的近似值列表如后〔表1，表2〕，从中可看 出其大致的变化规律，并可供实际计算时选用。 3结 论 计算结果表明：在圆平面分布摩擦的情况下，分别按作用力的大小是否超过最大滑 动摩擦力和力矩是否超过滑动摩擦力偶矩，来判断物体是否平衡是不正确的。必须按摩 擦力的实际分布情况，综合分析，才能得出正确结论。 表1r。:≤R时的诸参数值 表2r。:>R时的诸参数值 Table 1 The parameter Table 2 The parameter values(roe≤R) values(r。e>R) F1i拍 MoF/1OR dma/R Ki F/10 MoF/fOR dmix/R 0.90 0,799 1.051 0.415 0.90 0.888 1.227 0.271 0.80 0.731 0.974 0.532 0.80 0.914 1.353 0.230 0.70 0.654 0.904 0.682 0.70 0.935 1.518 0.195 0.60 0.572 0,843 0.874 0.60 0.953 1.743 0.162 0.50 0.484 0.790 1,132 0.50 0.968 2.063 0.131 0.40 0.392 0.746 1.503 0.40 0.980 2.550 0,102 0.30 0.297 0.711 2.094 0.30 0.989 3.371 0.075 0.20 0.199 0.687 3.252 0.20 0.995 5.025 0.050 0.10 0.100 0.672 6.720 0.10 0.998 10.01 0.030 0.05 0.050 0.668 13.31 0.01 0.010 0.667 66,69 276

尸 二 时 ， 力 系合 成为一 力 偶 ， 设 力 偶矩为 。 ， 则按式 ， 物体的平衡 条 件 为 。 、 普 当用 式 和 ， 或式 和 判别物体是 否平衡时 ， 均可先按第一 个 方程式 或 的等式确定 或 ， 再将所有 已知值代入第二个方程 式 或 ， 看 是否满足 ， 以此来判 定是 否平衡 。 对于大小一 定 的力式 总可以找 到相应的 的最大值 二 二 二 ， 例 如对于尸 典 。 ， 一 一 一 ’ 一 ’ 一 一 一 ‘ 一 护 一 ‘ ” 一 ” 一 兀 ‘ 可按式 “ ，的等式 ， 找到 一 夸 ， 。 若以 中心 为 圆心 ， 以 二 二 为半径作一 圆 ， 、 只 要该力尸 的作用 线 与此 圆相交 或相 切 ， 物体总是平 衡的 。 反之 ， 则将失去平衡 。 与力尸相对应 的这一 圆称之为 力尸的平衡圆 ， 它 给出了物体平衡时力尸的作用 范围 。 最后 ， 将对应于不 同 和吞 值的诸量的近似值列表如后 〔 表 ， 表 〕 ， 从 中 可 看 出其大致的变化规律 ， 并可供实际计 算时选用 。 结 论 计算结 果表 明 在 圆平 面分布摩擦的 情况 下 ， 分别按作用 力 的大小是 否超过最大滑 动摩擦力和力矩是 否超 过滑动摩擦力 偶矩 ， 来判 断物体是 否平衡是 不正确 的 。 必须 按摩 擦 力 的实际分布 情况 ， 综合 分析 ， 才 能得 出正确结论 。 表 。 。 簇 时的诸参数值 表 。 。 时 的诸参数值 。 。 。 ‘ 刀 盯 尺 了。 甘 八甘︹︸ … 舀叮‘八，工 八曰﹄甘 … 八曰︸﹃ 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 一 。 一 。 。 一 。 曰曰卜﹃ 甘以︸ … 八︸ 恤八一月︹甘 八曰土 … ︸﹄﹄

参考文献 C 1 )KyKoBckn H E,ycnonne paBHoBecna TBepnoro Tena, oⅡEpa0 erbca Ba HenonBu张HyoⅡIocK0 CTb HeKOT0p0iⅡI0aI- KoǚMorymeroⅡepexeⅢaTbC BIOb,3Toi'nJOCKOCTb c TpeHHeM co6p.cog,TLM-JΠ，1948 2 ]Oneako D A.Marexarnueckaa Teopna Tperns,1971 Bi-Sr-Ca-Cu氧化物的高Tc超导电性 史凡周寿增史振华李佛标杜建徐东跃夏守余 目前，不含稀土的两类(Bi系和T1系)新型高T℃氧化物超导体正日渐引起国内外 有关学者的高度关注。T1系高于110K的超导相较易稳定，零电阻温度已达114K,然而T1 的昂贵（比稀土Y还贵几倍）及剧毒性（神经性毒物，致死量0.8g)不能不成为其致 命的弱点。比较之下，B系材料无毒、价廉，更具前途，但迄今其零电阻温度却只有84 ~85K左右。显然，进一步提高B系超导体的零电阻温度必将成为人们研究的重要方 向。 作者曾于2月27日成功地制备出零电阻温度85.3K的Bi-Sr-Ca-Cu-O体系，随后， 经进一步调整工艺，又很快地将其零电阻温度提高到了90.3K。这一温度得到了中科院物 理所的复测确认。 样品制备用通常的固态反应法。将高纯的Bi2Oa、SrCO3、CaCO,和CuO粉料按 Bi:(Ca,Sr):Cu为2：3：2或1：2：2配比准确称量并充分混合、磨细，600 ~800℃预烧0~2h,复研后压成圆片，再入850~870℃马弗炉中烧结2~8h,最后 快淬处理即得样品。电阻测量用标谁的四引线法，测温误差±0.2K,电位测量的分辨率 2×10-8V;磁化率测量用交流互感法，工作频率314Hz。 由样品的电测结果看出：从室温至130K,电阻R随温度T线性变化，dp/dt>0。 温度降至130K附近，样品的R(T)曲线表现出显著的非线性行为，随后便发生急剧的 正常一超导转变。若取100K时电阻的10一90%为超导转变宽度△T,则△T=5.8K,超 导转变的中点温度为95.1K。磁测结果表明，样品在89.2K处出现强的抗磁性，与电阻 完全消失的温度90.3K对应较好。 B系氧化物高于90K的零电阻温度已足以与钇系超导体媲美，但其价格还不到后者 的十分之一。因而，对这种新型氧化物超导材料的大力开发研究十分必要。有关工作正 在进行。 277

参 考 文 献 〔 〕 冰了 只 兹 几 。 。 且 只 只 江 几 ， 万 幻 坦 石 及 狱 幻 几 ‘ 仑 立 从 盆 ‘ 只 及 几 石 ‘ 仑 几 。 互 ， 一’ ， 〔 〕 立 小 。 盆 从 互 卫 只 ， 几 几 一 订 从 一 一 一 氧化物的高 超导 电性 史 凡 周 寿增 史振 华 李佛 标 杜 建 徐 东获 夏 守余 目前 ， 不含稀土的 两 类 系 和 系 新型 高 氧化物超导体正 日渐引起 国内 外 有关 学者的 高度关注 。 系高于 的超导相较易稳定 ， 零电阻温度 已达 ，然而 的 昂贵 比稀土 还贵几倍 及剧 毒性 神经 性毒物 ， 致死量 。 不能不成为 其 致 命的弱点 。 比较之下 ， 系材料无毒 、 价廉 ， 更具前途 ， 但迄 今其零电阻温度却只有 左右 。 显然 ， 进一 步提高 系超导体的 零电阻温度必将成为 人们研究的 重 要 方 向 。 作 者 曾于 月 日成功地制备 出零电阻温度 的 一 卜 一 一 体系 ， 随 后 ， 经进一步调整工艺 ，又很快地 将其零电阻温度提高到 了 。 这一温度得到 了 中科 院物 理 所的 复测确认 。 样 品制备用 通 常的 固态反应法 。 将高纯的 、 。 、 和 粉料 按 ， 为 或 配比准确称量并充 分混合 、 磨细 ， 。 ℃预 烧 。 一 ， 复研 后压成 圆 片 ， 再 人 ℃ 马 弗炉 中烧结 一 ， 最 后 快 淬处理 即得 样品 。 电阻测量用 标准 的 四 引线 法 ， 测 温误差 士 ， 电位测 量的分 辨 率 义 一 “ 磁化率测量 用 交流互 感法 ， 工 作频率 。 由样品的 电测结果看 出 从室温至 ， 电阻 随温度 线性 变 化 ， 。 温度降至 附近 ， 样品 的 曲线表现 出显著的非线 性行 为 ， 随后便 发生急剧的 正常 一超导转变 。 若取 时 电阻的 一叨 为超导转变宽 度 △ ， 则△ ， 超 导转变 的 中点温度 为 。 磁测结果表 明 ， 样品在 处出现强的抗磁 性 ， 与 电阻 完 全消失的 温度 对应较好 。 系氧 化物高于 的 零电阻温度 已足 以 与 忆 系超导体媲美 ， 但其价格还 不到 后者 的十分之一 。 因而 ， 对这 种新型氧 化物超导材料的大力 开发研究 十分必要 。 有关工 作正 在进行