对数正态克立格法理论及其应用

D0I:10.13374/i.issn1001053x.1989.05.017 北京科技大学学报 第11卷第5脚 Vol.11 No.5 1989年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sept.1989 对数正态克立格法理论及其应用 侯景儒 黄竞先 (北京科技大学地质系) (中国有色总公司北京地质研究所) 张树泉 (北京科技大学地质系) 摘要：本文首先讨论了对数正态分布及三参数对数正态分布理论，然后重点研究了 对数正态克立格法。在分析了无偏条件及最小估计方差之后，给出了对数正态克立格法方程 组及对数克立格方差。克立格权系数入。即为该方程组的解，据此，可以估计矿床中每一块段的 克立格估值乙：，该估值是具最小估计方差的无偏线性估计量。该法已用下一个铁铜矿宋的 储量计算。 关键词：地质统计学，克立格法，对数正态分布，变异函数，最小估计方差，无偏 估计量 Theory of Lognormal Kriging and Its Application in Ore Reserve Estimation Hou Jingru Huang Jingxian Zhang Shuquan ABSTRACT:A theoretical study of the lognormal distribution and the three- paramelers lognormal distribution are presented.The emphasis is on the study of lognormal kriging.The lognormal kriging systems and logarithmic kriging variance are established after non-bias condition and minimum estimation variance are studied.The kriging weights A are solutions to the kriging systems.The kri- ging estimator Z of each block of a deposit can be estimated.Kriging estimator is the unbiased linear estimator with minimum estimation variance.The method is illustrated application to ore reserve estimation of a iron-copper deposit. KEY WORDS:geostatistics,kriging,lognormal distribution,variogram,mini- mum estimation variance,unbiased estimator 1988-12-23收稿 391

北 京 科 ‘ 第 卷第 期 年 月 技 大 学 学 报 丁 。 对数正态克立格法理论及其应用 侯 景 儒 二 ‘大仁 宝匕 月一 早乏 歹乙 石 北京 科技大学地 质系 中国有色总公 司 北 京地 质研究所 、 张 树 泉 北 京科技大学地 质系 摘 要 本文首 先讨论 了对数正态 分布及 三参数对数正 态分布理论 ， 然 后重 点研究 了 对数 正态克立格法 。 在分析了无 偏条件及最 小估计方差之后 ，给 出了对数 正态克 立 格 法 方程 组及对数 克立格 方差 。 克立格 权 系数 入 。 即 为 该 方程组 的解 。 据 此 ， 可以估 计矿 床 中每一 块 段 的 克立格 估值 二 ，该 估 值是 具最小 估计方差 的 无 偏线性 估计量 。 该法 已 用于一 个铁 铜 矿 床 的 储量 计算 。 关 键词 地 质统 计 学 ， 克立 格 法 ， 对数 正 态 分布 ， 变 异 函 数 ， 最 小 估 计 方差 ， 无 偏 估 计量 、 、 “ ” 扎 ” 拄 叙 一 ， · 入 。 夕 粤 。 。 血 一 ， ， ， ， ， 户 气 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1989．05．017

应用任何一种数学地质方法研究某地质变景的属性或其空间分布规律时，首先应研究该 地质变量的统计分布律，正态分布及对数正态分布是研究地质变量时经常遇到的分布类型。 本文将详细研究当地质变量呈对数正态分布时，应用线性地质统计学估计矿床（或矿块）的 平均品位及矿石储量的理论及方法。普通克立格法，泛克立格法等地质统计学方法已经成功 地应用于地质科研、找矿勘探、采矿设计及矿山地质等领域，并已开始应用于环境科学、遥 感地质、工程地质及水文地质等方面(，】。 当区域化变量（如矿床品位值）服从对数正态分布时，根据地质勘探及矿矿山设计的需 要，在应用地质统计学研究时需要解决以下两个问题：第一要估计整个床的平均品位及矿 石储量，即所谓总体佔计：第二要估【0床中·个块段的平均品位及石储最，即所谓局部 估计，这就是本文研究的上要内容一对数正态克立格法。 1几个基本问题的讨论 1,1对数正态守恒假设 Dowd P,A,(1982)研究指出：当样品值呈对数正态分布时，其样品值的平均值（例如 块段平均值)也呈对数正态分布，而且它们的联合分布也保持对数正态分布。但是，对数正 态变量的线性组合不符合对数正态分布【5】。 1.2正态分布与对数正态分布的关系 设定义于支撑v。(=1,2,,n)上的区域化变量×。呈对数正态分布，且期望值为 Z,方差为C(v。,v),即E{x。}=Z,D2(x。}=C(v。'v),则y=ln(x)呈正态分 布，若期望值为Z.,方差为C.(v。,va),即E{In(×。)}=Z.,D2{ln(x。）}=C。(u。, v。),这时，正态分布与对数正态分布之间存在如下关系式： Z=e7。+2c。("a'"g) (1) C(w。,v)=Z2.(e。g"o)-1) (2) 当定义于相同支撑v。,v。(C,B=1,2,·,n)的区域化变量值x。,x是联合对数正态分布， 且期望值为Z、协方差为C(v,v)时，则ln(x,)与1n(×)是联合正态分布，其协方差为 C,(v,v),这时，有如下关系式： C(v,y)=Z2(c.ew)-1) (3) (1)、(2)、(3)式称为正态分布及对数正态分布的3个基本关系式。 1.3三参数对数正态分布 许多金属矿床的品位值及元茶的地球化学观测值不服从上述的对数正态分布，它们在对 数坐标纸上呈现出程度不同的偏差。为了消除山此而产生的差，在对原始数据x。进行预 处理时，不是用上述的ln(x。)来代替x,而是用y=ln(x。+a)(其中的a为第三参数)代 392

应 用 任何 一种数 学 地 质方 法研究 某地 质变 录的属性 或 共 空间分布 规律时 ， 首先应研究该 地 质变量 的统 计 分布律 ， 正 态分布 及 对数 正 态 分布 是研究 地 质变 量 时 经常遇 到 的分布类 型 。 本文将详 细研究 当地质变量 呈对数正 态 分布时 ， 应用线性 地 质统 计学 估 计矿床 或矿块 的 平 均品 位及矿石储量 的理论 及方 法 。 普通克立格 法 ， 泛克立 格 法 等地 质统 计学 方法 已 经 成功 地应用于 地质科研 、 找 矿勘探 、 采矿 设计及矿 山地 质等领域 ， 并已开始应用 于环境科学 、 遥 感地质 、 工程地质及水 文地质等方面 〔 ” “ ’ 。 当区 域化变量 如 矿床 品 位值 服从 对数正 态 分布时 ， 根 据地质勘探 及矿 山 设 计 的需 要 ， 在应用 地质统 计学 研究 时 需要 解 决 以 下两个问题 第一要 估 计整个矿床 的平均 品位及矿 石储 量 ， 即所谓 总体估 计 第 二 要 估 计叮 ‘ 床 ，手 ， 一 个 块段 的平 均品 位及 矿石储量 ， 即所谓局部 估计 ， 这 就是 本文研究 的 要 内容－ 对数 正 态克 立格 法 。 几个基本问题 的 讨论 对橄正 态 守恒 假 设 研究指 出 当样品值 呈对数正 态 分布时 ， 其 样品值 的平 均值 例如 块段平 均值 也 呈对数 正 态 分布 ， 而 且它们 的联 合 分布也保 持 对数 正 态分布 。 但是 ， 对数正 态变量 的线性组合 不符合对数正 态分布 〔 ’ 。 正 态 分布 与对效正 态 分布的 关系 设定义于 支撑。 。 。 二 ， ， … ， 上 的 区域化变 量 。 呈对数 正 态 分布 ， 且 期 望 值 为 ， 方差为 。 ， 。 。 ， 即 。 ， 。 。 ， 。 ， 则 夕 呈正 态 分 布 ， 若期望值 为 ， 方差 为 。 。 ， 。 ， 即 。 。 ， 。 。 。 ， ， 口 ， 这 时 ， 正 态 分布与对数正 态 分布之 间存 在如 下关 系式 谁 一 砚 。 。 ， · ，， 口 ， 。 二 · 。 ” ” ’ 一 当定 义于 相 同 支撑。 。 ， 。 ， 。 ， 口二 ， ， 一 ， 的 区域化变量值 。 ， 二 ， 是联 合 对数 正 态 分布 ， 且 期望值 为 、 协方 差 为 ， ， · ， 则 二 。 与 。 呈 联 合 正 态 分布 ， 其协 方 差 为 叭 ， 。 ， ， 这 时 ， 有如 下 关系式 口 。 ， ， 。 ” 。 ， ， 一 、 、 式称 为 正 态 分布 及对数 正 态 分 布的 个 华 本 关 系式 。 三 今橄对 数正 态分布 许多 金属 矿床 的品 位值 及 元 素的 地球化学 观测 值 不服从 述 的对数正 态 分布 ， 它 们 在对 数 坐标纸 上 呈现 出程 度 不 同的偏 趁 。 为了消除 山此 而 产 生 的 议 差 ， 在 对原 始 数 据 口 进 行预 处 理时 ， 不是 用 上 述的 。 来 代替 。 ， 而 是 用 夕 。 。 其 中 的 为第三 参 数 代

替x,使区域化变量呈现正态分布，这种分布类型即所谓三参数对数正态分布（」。 设Z!是ln(x。+a)的平均值，σ2是1n(x。+a)的方差，则三参数对数正态分布的算术平 均值是： Z=cxpC2+号y-a 其众数是： Z=exptZ?-g2]-a (4) 几何平均值是： Z6=e20-0 2对数正态克立格法 假设床D的样品值及块段品位值均服从对数正态分布，其平均品位为Z，又设D中某待 估块段为V,平均品位为Zv,估计量为Z:,则1nZ:可表为n个已知数据ln(x.)的线性组合 Inet=c+ 元aln(x.) (5) e-l 式中C,入为待定系数，x.是定义于信息支撑".(a=1,2,…,n)的n个信息值。问题是要求出 (5)式中的n个权系数(c=1,2,…n)能保证估计量无偏，且估计方差为最小。12] 2.1无偏性条件 当且仅当满足 =1 (6) a=1 (7) 时，Z才是Z,的无偏估计量。 2.2估计方差最小条件 估计方差可表示如下： D2CInZy -InZy]=D2CInZ]+DiCInZy]-2covCInZyInZy] (8) 在满足无偏性条件下的估计方差公式是： Dc2-l2)=c(,n-22c.）-e.c,n(9) 8■1 393

替 。 ， 使 区域 化变量呈 现正 态 分布 ， 这 种 分布 类型 即所谓三参数 对数正 态 分布 帅 〕 。 设 匕是 。 。 的平 均值 ， “ 是 二 。 。 的方 差 ， 则三参数 对数正 态 分布 的算 术平 均值是 。 乙 ’ ， ， 眨乙 。 是一十 一二 口 一 口 一 。 其众数是 孟二 〔 省一 二 〕 一 几何平 均值是 占 一 对数正态克立格法 假设矿床 的样品值 及块段品位值 均服从对数正 态 分布 ， 其平 均品 位 为 ， 又设 中某待 估块段 为 犷 ， 平 均品位为 丫 ， 估计量 为 牛 ， 则 牛可表 为 ” 个 已知数 据 。 的线 性 组合 ‘ 芝 ‘ · ， 。 ， 式 中 ， 凡 。 为待定系数 ， 气是 定义于 信息 支撑 。 。 二 ， ， 一 ， 川 的 。 个 信息值 。 问题是要 求 出 式中的 个 权系数几 。 ， ， 一 能保证估 计量 无偏 ， 且估 计方差 为 最 小 。 〔 ” “ ， 。 无 偏 性条件 当且 仅当满足 芝 “ 。 二 合 只 · 瓦‘ 。 一 ，一 合区 芝 “ · ‘ 口 夕巴 瓦 一 时 ， 孚才是 的无偏估计量 。 。 估 计方 差最 小条件 估计方差 可表示如下 〔 票一 〕 〔 票〕 “ 〔 〕 一 〔 寻 ， 〕 在满足 无偏性 条件下的估计方差公式 是 〔 ， 一 ， 、 〕 瓦 犷 ， 一 芝 艺 ‘ 。 ‘ ，瓦 。 。 ， 。 ，卜 芝 几万 ，， ， 犷 ， 口一

式（9)C.(,)代表矢量h的两个端点分别在样品.及rg内的所行对点的平均对数协方 差，C.(c.,V)是欠量h的两个端点分别在样品，和待估域”内的所有对点的平均对数协方 差。要求(5)式中诸权系数2，并使(9)式在无偏条件下达到极小，应解下列对数正态克立 格方程组： 1C.0-a-C. B-1 1 (10) (a=1.2,…,n) 其矩阵形式是：〔k.〔2)=〔M2. (11) 〔)=〔k.〕-1〔M2.) (12) 应当指出，只有当协方差矩阵〔C.(','"〕严格正定，行列式严格大于0时，(10)式才有唯一 解，所以必须要求所有的点协方差模型C.(h)是正定的，H一个数据支撑不与另一个支撑完 全重合【门。 从(10)式可知，对数正态克立格方程组1只取决于C,(h)或r。(h),以及信息域，及待估 域V的相对几何特征。求解方程组(10)式后，得n个权系数1.(a=1,2,…,n),据(7)及 (10)式可得到C的简化式： C=112{.cc.)-C.1-r} (13) 据(5)式可得到Z,的无偏最优线性估计量Z: Z8=e品.11a(x,）+C.门-c12)C.,)+112m} (14) ZY也可以根据lnZ值及估i计该值的样品数n和什：i讣方差r.值利用Sichel II.S.给出的佔计 因子表由式(15)求得： Z:=e1.21 (15) 式中lnZ是对数正态克立格法估计的对数克立格佔值。 lnZ:=(1'n) In(x.) (16) (o,)=〔1+ gagD (n-1)2 +2.31(n+10(m+3)8+… (17) 394

式 「卜 ’ 。 ， ， · 。 代 表 欠量 的 两 个端 点 分别 在样 异 ‘ ’ 。 及 了 ’ ， 内的所 了对 点的平 均对 数 协方 差 ， 。 。 ， 厂 是 矢 量 的 两个端 点 分别 在样品 ‘ ，。 和 待估 域 犷 内的所 有对 点 的平 均 对 数协 方 差 。 要 求 式 中诸权系 数 之 。 ， 并 使 式 在无 偏条件 下达 到 极 小 ， 应 解 下列对 数 正 态克 立 格 方程组 口 芝 只厂 。 ， 一 ，、 ，一 。 二 互 ‘ 厂一 厂 ， 二 ， … ， 。 成 川 · 拟芝 其矩 阵形 式是 〔 。 以 〕 二 〔 〕 一 ’ 〔 。 〕 应 当指出 ， 只有 当协 方差矩 阵〔 。 和 。 ， ，， 〕严格正 定 ， 行列 式严格 大于 。 时 ， 式 才有唯一 解 ， 所 以必须要 求所有 的点协 方 差模型 。 是 正 定 的 ， 一个 数 据支撑 不与另一 个 支掉完 全重合 ‘ 。 从 式可 知 ， 对 数 正 态克立格 方 程 组 只 取 决于 。 或 。 ， 以及 信息 域 。 。 及待估 域 犷的相对几何特 征 。 求解方 程组 式后 ， 可 得 ” 个 权 系 数 之 。 二 ， ， … ， 。 ， 据 及 式可 得到 的简化 式 叉 只 。 〔 瓦 ，。 ， ， 。 卜 瓦‘ 一 卜 ，‘ 据 式可得到 ， 的无偏 最 优 线性估计量 零 里 ， 。 〔 。 一二 一 · 口 ， ，。 〕 一 〔 一 。 ，。 ， 犷 川 ，‘ 〕 护二 “ 导也可 以 根据 零值 及估 计该值 的样 品数 和估 计方 差 。 值利 用 曰 给 出的 估 计 因子表 由式 求得 卜 。 ’ “ 之，… ‘兀 式 中 份是 对数 正 态 克立格 法 估 计的对 数克立 格估值 。 · 二 ， 芝 之 。 ，· 。 又 ， 〔 ‘ 一 奋 口 ， 一 一 了 仓 ‘ 八 一 几 巳 …

式(15)中的yn(σ)依赖于估计邻域内的样品数n及方差o。1nZ:的对数正态克立格方差 o,是： c.-C.(,)- .C.(,)+4 (18) 估值Z的克立格方差σ量是： 7=之2。，r),.三，入nc。（ea,ty。.,2acra tea-l -2e1 (19) o也可根据c量.利用Siche1H.S.表求出估计精度的上下限表示之。 当所研究的区域化变量在估计邻域内存在有漂移时，可用对数正态泛克立格法进行估 计，求lnZ:的对数正态泛克立格方程组如下： 1b=C.(P) 8-1 i.6 (g=1,2,,7, (20) (1=0,1,…k) (20)式中6。=(1。)J、.(x)dx是信息域的多r.项式函数，6=(1/∫.(x)dx是 待估域V的多项式函数。其对数正态泛克立格方差为： a.=C.(,)+ -” (21) 1a0 求解式(20)得到n个权系数，据(13)式及(14)式或据(15)式求出在泛性条件下块段 V的最优无偏线性估计量Z:。 当需要估计块段V的漂移值时（这在地质研究及物化探数据处理时是必要的），可 解下列对数泛克立格方程组求权系数值p(B=1,2,·,n): (a=1,2,…,n) 1-0 (22) ∑p.6.=6 求解(22)式得到n个权系数p(B=1,2,…,n),用(13)式及(14)式或(15)式求出在 泛性条件下块段V的漂移值，的最优无偏线性估值m:。其对数正态泛克立格方差为： (23) 395

式 中的， 武 依 赖于 估 计邻域 内的样品数 及 方差 此 。 李的对数正 态克 立 格 方差 叮 是 。 是 、 。 二 瓦 犷 ， 。 一 芝 几万 之。 ， 。 “ 口 七 估值 粤的克立格 方差吐是 ，土 ﹃乏 口 。 厂 ‘ · 〔 下· ， ，· 又二 。 、 一 、 … ‘一 。 里 、 ’二 “ ” · ’ ‘” 〕 。 是也可 根据 盖 。 利 用 表 求 出估计精 度的上下 限表示之 。 当所研究 的 区域 化变 量 在估计 邻 域 内存 在有漂移 时 ， 可用 对 数正 态 泛克立 格 法 进 行估 计 ， 求 君的对 数正 态泛克 立格 方程组 如下 叉 只，瓦 ，。 ， 艺，刀 卜 芝 ，之 乙 二 瓦‘ … ， 刀竺 叉 元 二 “ 。 二 阮 仪 ， ， … ， ， 二 ， ， … ‘ ， 式 中“ 。 · “ 了 夕· ， 、 。 了 · · ， · 是 信 · 息域 的 多 · 项式 函数 ， “ 杏 “ ‘ 厂 ， 厂 · · ， · 是 叔、 待 估域 犷的多项式 函数 。 其对数正 态 泛克 立格 方差为 · 。 · 瓦 ， ， 芝 。 “ 寻一 叉 又 · 瓦 ，· ， 犷， 二 二 求解式 得到 ” 个权 系数 ， 据 式及 式或 据 式 求 出在泛性条件下 块段 犷的最 优无偏 线性估 计量 寻 。 当需要 估 计块段 犷的漂移值 。 子时 这 在地 质研究 及 物化探数 据处理 时是 必 要 的 ， 可 解下 列对数 泛克立格 方程 组 求权 系数值 ， 刀二 ， ， … ， ， 户， 。 ，。 ， ，刀 一 芝 。 “ 。 。 。 ， ， 一 。 一 。 县 。 · 阳习乙 · 。 求解 式得到 ” 个 权 系 数户， 刀二 ， ， … ， 。 ， 用 泛性条件 下块段 犷的漂移值 级 、 · 的最 优 无偏 线性估值 式及 式或 式求 出在 。 牛 。 其 对 数正态 泛克立格 方差 为 。 二 区 。 工

以上讨论的是所谓局部仙计，当要求金床的平)品位及石储量时，可从下还的方法 得到。 (1)川以上对数正态克立格法求出的克立格估值Z具可加性，即当把矿床D分为n个块 段V:时，则宋D的，总体估值Z。为各块段V:估值Z.(:-1,2,…,n)的第术平均值： 〉Z (24) (2)当未采用上述方法对矿宋D进行局部佔时、在大子样条件下，可用下式求D的平 均品位： Z=0C.+士.n,m±95) (25) 式中C.(D,D)是定义于会矿床D上的y=ln(x,)的方差，Z.是ln(x.)的均值，n为样数。当 品位值服从三参数对数正态分布时，(25)式变为： z=e2.+}0.g)-0 (26) 式中C.(D,D)是定义于D上的y=ln(x。+a)的方，Z.是y=In(x.+a)的均值，a是第三参 数。 3应用实例 我国某铁矿床是一个产铁、铜、硫的大型矽卡岩型可床，经对该床的F、Cu、S品 位的分布律的研究可知，F©品位是正态分布，Cu及S呈对数正态分布。因此，我们采用普通 克立格法计算了该矿床的铁石储量，用对数正态克立格法计算了铜、硫的储量。本文只讨 论铜、硫储量计算中的若干问题。 (1)Cu、S品位的分布特征研究用0.10%及0.25%的区间做长6m组合样Cu品位的直方 图时呈明显偏时，为对数正态分布，而在对数概率纸上，【(Cu)的累积频率曲线仍非直线， 说明Cu不服从对数正态分布i,经多次试验，证明Cu品位服从三参数对数正态分布l(Cu+ 0.3)。l合样的S品位直方图也是现偏畸，但取对数后【(S)的直方图呈现正态分布特征。 (2)变异函数及结构分析在对矿床的地质特征及非空间统计律研究之后，：需要研究品 位值的空间结构.其：具就是名虑样品品位空间相对位置的变异函数y·(h)〔3]，其数学表达 式为： 2(h)=E{〔Z(x)-2(x+h)2} (27) 用组合样的Cu品位计第变异函数时，所得的试验变异函数y(h)变化杂乱，看不出矿床中Cu 品位的变异特征，当用l(Cu+0.3)计算p(h)时，就明显看出该矿床中Cu的变异性（图1） 而且表现为几何异向性的结构特征，经分析认为该可矿床C品位可用具有块金常数的两个球状 模型来拟合，其理论变异函数的总的套合结构模式如下： 396

’ 川少 论 的 足 所 谓局 部估 计 ， 当 要求 个 ’ 床 的平 均品 位及 征 石储量 ， 可从 子述 的方 法 得 到 。 川 以 卜对 数正态 克 立 格 法 求 出 的克 立 格估值 甲具可加性 ， 即 当把 矿 床 分 为 。 个块 段 时 贝州，’ 长 的必 、 体 占位 芯为各坎 段 犷 拈值 孑 一 ， ， … ， 。 的算 术平 均值 盆二 一 一 夕 了 刀 沼 日 当未 采用 述 方法 对 ’ 床 进 行 局部 占计川一 在大 子样 条件下 ， 可用下式 求 的平 均 品 位 。 〔 。 ‘ ‘ 。 〔 ” ， “ ，士 只 “ 〕 式 中 ， 刀 是定 义于令 矿床 上 的 二 。 的方 差 ， 。 是 。 的 均值 ， 。 为样 数 。 当 品 位值 服从 三 参数对 数 正 态 分 布时 ， 劝 式变 为 二 。 十 少 ‘ · ‘ ” ， “ ’ 士 少令〕 。 式 中 ， 是 定 义于 上的 夕 二 二 。 十 。 的 方差 ， 是夕 二 。 。 的均值 ， 。 是 第三参 数 。 应 用 实 例 声璐 我 国 某铁扩床 是 一 个生 产铁 、 铜 、 硫 的大 型矽 卡岩 型 矿床 ， 经对 该 矿床 的 、 。 、 品 位 的分布 律 的研究 可知 ， 品 位 呈正 态 分布 ， 。 及 呈 对 数 正 态 分布 。 因 此 ， 我们 采用 普通 克 立 格法 计算 了该 矿床 的 铁矿石储量 ， 用 对 数 正 态克立 格法 计算 了铜 、 硫 的储 量 。 本文 只 讨 论 铜 、 硫储 量 计算 中的若千 问题 。 。 、 品 位的 分布特 征研究 用 及 的区间做长 组合 样 品 位 的直 方 图时 呈明 显偏畸 ， 为对 数 正 态 分布 ， 而 在 对 数 概率纸 上 ， 的累积 频率 曲线仍 非直线 ， 说 明 不服从 对 数 正 态 分布 ， 经 多次试 验 ， 证 明 品 位服 从 三 参数 对 数 正 态 分布 。 十 。 。 。 组 合 样 的 品 位直 方图 也呈现 偏畸 ， 但 取 对 数后 的直 方 图呈现 正 态 分布特 征 。 变 异函 数 及结 构 分析 在 对矿床 的地 质特 征 及 卜空间统 计律研究 之后 ， 需 要研究 品 位值 的空 结 构 ， 七工 具就 是 恕虑样 品 品 位空 间相 对 位 置 的变 异函 数 丫 ‘ 〔 ’ ， 其 数学 丧达 式 为 斗， 卜 〔 义 一 〕 “ 用 组 合样 的 品 位计算变 异函 数时 ， 所 得 的 试验变 异函 数， 变 化 杂乱 ， 看 不 出矿床 中 品 位 的变 异特 征 ， 当用 计算 ， 时 ， 就 明 显看出该矿床 中 。 的变 异性 图 而 且表 现 为几 何 异向性 的结 构特 征 。 经 分析 认 为该矿 ‘ 床 。 品 位 可用 具 有 块 金常 数的两 个球状 模型来 拟合 ， 丈琴理 论 变 异函数 的 总 的女合结 构模 式如 卜

()-C。+C()+C.=0.015+0.08〔1.56-0.5(36）门 +0.114〔1.525-05(2会5)门 对应的转换矩阵为： 4-C924=〔8 式中1.9为垂直方向与水半方向的各向异性比k(k=225120=1.9)。 y(h)on hurizonta!directien Yh)on horizontal direction Y(h)on horizontal direction y'(h)on o.cortal direvtion 0.2 0.3 Y(h)on vertical direction (h)on ver'icui direo C .2 Y(h)on vertical direction 0,1 ?'(》on vertical direetion 0.1 0.0 20 0.0160 1201820300 60103140180220 02 ，m h ,m 图11n(C品位+0.3)的：(h)及(h) 图21n(S品位)的"(h)及：(h) Fig.1 Experimental variogram (h) Fig.2 Experimental variogram(h)and and theorical variogram (h) theorical variogram (h)of of In (Cu grade+0.3) In(S grade) 与品位Cu的情况相似，未取对数值的S品位的变异函数y*(h)无规律可寻，而1(S品位)的 变异函数y*(h)清晰地反映了变化特征（图2），组合样的1n(S品位)的y(h)也呈现出几 何异向性，垂直方向与水平方向的各向异性比k=140/100=1.4,其总的结构是： y()-Ca)+C,)=0.14〔1.52年-0.(24) 心 +0.256〔1.57东0-0.5(76)门 对应的转换矩阵为4，-〔。94=〔。9门 (3)对数正态克立格法估计估计时，采用3×3×3=27个大小为30m×30m×6m的超级 块段的估计邻城，每一超级块段由大小为15m×15m×6m的待估块段组成，同时，采取了若干 措施以强化靠近待估块段的样品值的作用。克立格估计方案如图3所示。经过对数正态克立 格法计算后提供的主要成果是：①各中段Cu、S、Fε品位估值平面图（共计60个中段）；② 各中段Cu、S、Fe不同品级的分级平均品位及矿石（或金属）储量表；③全矿床Fe、Cu、S 平均品位与矿石（金属)储量随标高的变化曲线；④品位一吨位曲线；⑤全矿床F、Cu、S 397

， ‘ ’ 。 甘 “ ， “ ，二 · ‘ 。 · ” 〔 ‘ · 斋 一 。 · 矗 “ 〕 。 · “ ‘ 〔 ‘ · 蠢 一 。 · 鑫 ’ 〕 对应的转 换矩 阵为 “ 〔 ‘ · 〕 二 〔 。 〕 式 中 。 为垂直 方 向与水 平 方向的各 向异性 比 舟二 二 。 定 洲卿 印 下 以 门 。 川 广 川 。 仁 习 犷亡 ‘ 门 泞亿 卜 宝 丫女 。 ，、 。 一 ‘ 。 爹 叮 。 醉 ‘ 泛夕戈一 一 三尹 争 ‘ 一 、 即 ‘ 已 阳 几跪 、 孟 ， 门 巴 角 矛介之二 门 厄 戴 山 曰峪 一‘ 」 口 韶 ，八 五 一叩 人 ， 图 品位 。 的 ， 五 及 ， ， ， ’ ， ， 图 品位 的 ‘ 及叹 几 ， 、 、 与品位 的情况相 低 ， 未 取对 数值 的 品 位 的变 异函数 尹 无规律可 寻 ， 而 品位 的 变异函数 清晰地 反映 了变化特 征 图 ， 组 合样 的 品位 的 广 也 呈现 出几 何异 向性 ， 垂 直方 向与水平 方向的各 向异性 比 掩二 ， 其 总 的结 构是 ” ’ ” ’ “ ，二 ” · “ 〔 ‘ · 贵 一 。 · 会 〕 · 〔 ‘ · 击 一 。 · 。 ‘ 卫 、 、 刀 〕 对 应的转换矩 阵为 产 伐 。 〕 一 〔 。 〕 对数正态克立格法估计 估计时 ， 采 用 二 个 大小 为 的超级 块段 的估计邻 城 ， 每一超 级块段 由大 小 为 义 的待 估块段组 成 。 同时 ， 采取了若干 措 施以强 化靠近待估块段 的样品 值 的作用 。 克 立格估 计方案如 图 所示 。 经过对 数正态克立 格 法计算后提供 的主要 成果 是 ①各 中段 、 、 。 品 位佑值平 面 图 共计 个 中段 ② 各中段 、 、 不 同 品级 的分级平 均品 位及 矿石 或 金属 储量表 ③全 矿 床 、 。 、 平 均品位 与矿石 金属 储量随标高的变化 曲线 ④品位一 吨位 曲线 ⑤全 矿床 、

按不问品级的平均品位及矿石（金属）储量总表；⑧按估计帮度的不同级别的矿石（金属） 的储量表。 -90m direetion K y diration Neigrbourhood to be estimatcdl90.9018) Superblock to be es1 imated30x30xG】 Block to be estimaled -30m」 (15156J Superblock to be estimated 图3克立格估计方案 Fig.3 Kriging estimation plan 4结 论 (1)对数正态克立格理论对研究地质及采矿工作中的品位，空间分布规律，既具有理论 价值又具实用意义。 (2)已经证明，对于服从对数正态分布的原始数据取对数值(ln(x,)或ln(x。+a)再 计算变异函数是研究这种类型变量的空间结构及变异性的有效方法，它是地质统计学研究的 基础。 (3)对数正态克立格法是在满足无偏条件及在估计方差极小条件下得到的，无疑，应用 对数正态克立格法来估计服从对数正态分布的金属平均品位及储量时，其结果比用其它方法 更精确和可常。 (4)本文给出的对数正态泛克立格法不但能成功地应用矿产储量计算，而且，还可用于 具有漂移的区域物化探数据处理，水文地质及工程地质的数据分析以及环境监测数据，大地 测量数据、海洋地质等数据的研究，因而，如同对数正态克立格法一样，对数正态泛克立格 法同样具有广泛的应用前景。 参考文献 1侯景儒，黄竞先.地质统计学及其在可矿产储址计算中的应用，地质出版社，1981年 2儒尔奈吓AG等.侯站儒等译.业地质统计学，治金汇业出版社，1982年 3侯景儒等。地质与勘探，1987：(2)：35~42 4侯景儒等.泛克立格法及其在找勘探中的应用，天津地质学会志，1985；3(2) 5 Krige D G.Lognormal-de Wijsian Geostatistics for Ore Evaluation,South African Inst.of Mining and Metallurgy,1978 6 Rendu J M.Math.Geo1.,1979:11(4):407~422 398

按 不 同品 级 的平 均品 位及矿 石 金属 储 量 曾 、 表 ⑧按估 计精 度的 不 同级 别的矿 石 金属 的储 址农 。 卜 比 且 斌 洲 一 几 一 不 只 一 了、 月 司 、 图 克 立格 估 计 方案 结 论 对数 正 态克立格 理 论 对研究地 质及 采矿 ‘ 工作 中的品位 ， 空 间 分布 规律 ， 既具有 理 论 价值 又具实用 意 义 。 已经证 明 ， 对 于 服 从 对数 正 态 分布 的原始 数 据取对数 值 。 或 。 再 计算 变 异函数 是研究这 种 类型变量 的空 间结 构及变 异性 的有效 方法 ， 它 是 地 质统计学研究 的 基 础 。 对数 正 态克 立格 法是 在满足 无偏条 件及 在估 计 方差极小 条件下得到 的 ， 无 疑 ， 应用 对数 正 态克 立格 法来 估 计服从 对数 正 态 分布 的 金属平 均 品 位及储量 时 ， 其 结果 比用其它 方法 更 精 确 和可靠 。 本文给 出的对数正 态泛克立格 法 不但 能 成 功地 应 用矿产储 量计算 ， 而 且 ， 还 可 用 于 具有 漂移 的 区域 物化探数 据处 理 ， 水 文地 质及 工程 地 质 的数 据 分析 以及环 境 监测 数 据 ， 大 地 测 量 数据 、 海 洋 地 质等数 据的研究 ， 因而 ， 如 同对数 正 态克 立格 法 一样 ， 对数 正 态 泛克立格 法 同样 具有广 泛 的应 用前 景 。 ， 参 考 文 献 侯 景儒 ， 黄竟 先 地 质统 华 及其在旷产 储 准计算 中的应 用 ， 地质 出版 社 ， 年 儒 尔奈 耳 等 侯 景儒 等译 矿 业地 质统 计学 ， 治 袭 一 〔 业出版社 ， 年 侯 景儒 等 。 地 质与勘 探 ， 一 侯 景儒 等 泛克立格 法 及其 在找 矿勘探 中的应 用 ， 天 津地 质学 会志 ， 夕 一 附 ” 。 ， 犷 ， ， 妇