第一章随机事件及其概率 1.同一问题的概型未必唯一 概型( Schema)是随机现象的数学形式,它不是实际本身,而是实际的数学抽 象。对于现实世界中的随机现象,要想进入数学理论的硏究,首先必须确定其概型。 由于我们的认识水平以及现实问题的复杂性,使得所选定的概型往往不是唯 的 概率论中著名的“n个球在n个盒子中的分布问题”(见王梓坤《概率论基础及 其应用》P12-13科学出版社)就说明了这一情况,这是一个典型概型的问题,内 容是:设有r个球,每个都能以相同概率l/落到n个盒子(n>=r)的每一个盒子 中,求指定的某r个盒子中各有一个球的概率 如果我们把r各球视作r个人,而把n个盒子视为一年的天数:n=365.这时上 述问题就成为了概率论中一个颇为著名问题的概型。此问题是求参加某次集会的几 个人中,没有n个人生日相同的概率。 众所周知,关于球彼此间可以认为是有区别,也可以认为无区别;一个盒子可 以假定仅能容纳一个球,也可以允许它能容纳许多球,如此一来,就可以分为以下 几种概型: (1)马克斯威尔一波尔茨曼认为球彼此之间有区别,且对每盒中可 容纳球数不加限制 (2) 玻色一爱因斯坦认为球彼此不能区别,且对每盒中可容纳球数 不加限制 (3) 费密一狄雷克认为球彼此无区别,且限制每盒中不能同时容纳 二个球 后来,为了统一以上三种情况,又产生了第四种情况 (4)布里龙认为球彼此可以区别,且增加了一些其他条件限制(见 杨宗磐《概率论入门》P13科学出版社) 以上四种情况,形成了统计物理学中的四种统计:球可看作为质点,盒子看 作状态 再看一例:n个人围成一个圆周,求其中甲、乙两人之间恰有r(<n2)个人的 概率。(圆周排列时,仅考虑从甲到乙的顺时针方向)对此问题,至少可找 到三种概型来处理即可以构造如下的三种随机试验: (1)n个人的任意一种排列作为一个基本事件 (2)仅以甲、乙两人在n个人一行中的不同排法作为基本事件组; (3)可由甲与乙之间的间隔数来考虑 不论取何种概型,本题的求概率均为1/(n- 2.事件间的关系 (1).由A-B=C推不出A=BUC 事实上,令A=1.34},B={135},于是C=AB=24},而BC={2345}≠A第一章 随机事件及其概率 1． 同一问题的概型未必唯一 概型（Schema）是随机现象的数学形式，它不是实际本身，而是实际的数学抽 象。对于现实世界中的随机现象，要想进入数学理论的研究，首先必须确定其概型。 由于我们的认识水平以及现实问题的复杂性，使得所选定的概型往往不是唯一 的。 概率论中著名的“n 个球在 n 个盒子中的分布问题”（见王梓坤《概率论基础及 其应用》P12-13 科学出版社）就说明了这一情况，这是一个典型概型的问题，内 容是：设有 r 个球，每个都能以相同概率 1/n 落到 n 个盒子（n>=r）的每一个盒子 中，求指定的某 r 个盒子中各有一个球的概率。 如果我们把 r 各球视作 r 个人，而把 n 个盒子视为一年的天数：n=365.这时上 述问题就成为了概率论中一个颇为著名问题的概型。此问题是求参加某次集会的几 个人中，没有 n 个人生日相同的概率。 众所周知，关于球彼此间可以认为是有区别，也可以认为无区别；一个盒子可 以假定仅能容纳一个球，也可以允许它能容纳许多球，如此一来，就可以分为以下 几种概型： （1） 马克斯威尔－波尔茨曼 认为球彼此之间有区别，且对每盒中可 容纳球数不加限制； （2） 玻色－爱因斯坦 认为球彼此不能区别，且对每盒中可容纳球数 不加限制； （3） 费密－狄雷克 认为球彼此无区别，且限制每盒中不能同时容纳 二个球。 后来，为了统一以上三种情况，又产生了第四种情况 （4） 布里龙 认为球彼此可以区别，且增加了一些其他条件限制（见 杨宗磐《概率论入门》 P.13 科学出版社） 以上四种情况，形成了统计物理学中的四种统计：球可看作为质点，盒子看 作状态。 再看一例：n 个人围成一个圆周，求其中甲、乙两人之间恰有 r(<n-2)个人的 概率。（圆周排列时，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）对此问题，至少可找 到三种概型来处理即可以构造如下的三种随机试验： （1） n 个人的任意一种排列作为一个基本事件； （2） 仅以甲、乙两人在 n 个人一行中的不同排法作为基本事件组； （3） 可由甲与乙之间的间隔数来考虑。 不论取何种概型，本题的求概率均为 1/(n-1). 2． 事件间的关系 (1). 由 A− B = C 推不出 A = BC 事实上，令 A={1,2,3,4},B={1,3,5},于是 C=A-B={2,4},而 B C = {1,2,3,4,5}  A