高等数学教案 第一章函数与极限 因为li 3江-0，所以当x→0时。32是比x高阶的无穷小，即3x=(x)(x→0)， x→0 1 因为lim卫=o,所以n→o时， 是比低阶的无穷小. n+1 n 因为lim 心-9=6所以x→3时，2-9与x-3时同阶无穷小 3x-3 因为li 术→0 x2 -2所以当x→0时，1-c0sx是关于x的二阶无穷小 1-cosx 1 因为lim m sinx=l,所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小，即sinx~x(x→0) 0x 下面再举一个常用的等价无穷小的例子 例1证明：当x→0时，十x-11x。 n 证：因为 1+x-1 (1+x-1 lim- lim- r→0 1 -x (+x刘+1+x)2+…+1 n n =lim —=1 1+x)+1+x)-2+…+1 所以1+x-11x(x0). n 关于等价无穷小，有下面两个定理。 3.定理 定理1a~B台阝=+0() 定理2设a~心，B~g,且1mE存在，则 lim B=limB a' 证：im=im）=limlim lim-imE B'a'a _a [注]定理2提供了一种计算极限的重要方法-—-一等价无穷小代换求两个无穷小之比的极 限时，分子及分母都可用等价无穷小来代换，对乘积因子也可用等价无穷小代换.但要注意， 2