12.12 体在O`点产生的场强为零,大球在O点产 12.13一半径为R的均匀带电球体内生的场强大小为 的电荷体密度为 p,若在球内挖去 E 块半径为R<R 的小球体,如图所 方向也由O指向O 示,试求两球心O [证明]在小球内任一点P,大球和小球 与O处的电场强 产生的场强大 度,并证明小球空 小分别为 腔内的电场为均 图13.10 强电场 「解答]挖去一块小球体,相当于在该处 填充一块电荷体密度为-p的小球体,因此, 空间任何一点的场强是两个球体产生的场E 强的叠加 对于一个半径为R,电荷体密度为p的方向如图所示 球体来说,当场点P在球内时,过P点作 设两场强之间的夹角为O,合场强的平 半径为r的同心球形高斯面,根据高斯定理方为 可得方程 e=E+E+2EE. cos e eaR r+r+2rrcos P点场强大小为 根据余弦定理得 E 当场点P在球外时,过P点作一半径 为r的同心球形高斯面,根据高斯定理可得所以 方程 可见:空腔内任意点的电场是一个常量.还 E4丌n2= R E03 可以证明:场强的方向沿着O到O的方 向.因此空腔内的电场为匀强电场 P点场强大小为 R 12.14如图所示,在A、B两点处放 E 有电量分别为+q和-q的点电荷,AB间距离 为2R,现将另 O点在大球体中心、小球体之外.大球正试验电荷qo 体在O点产生的场强为零,小球在O点产从O点经过半圆 生的场强大小为 弧路径移到C 点,求移动过程 图1311 中电场力所做的功 [解答]正负电荷在O点的电势的和为 方向由O指向O 零 O点在小球体中心、大球体之内.小球 UO=06 12.12 12．13 一半径为 R 的均匀带电球体内 的电荷体密度为 ρ，若在球内挖去 一块半径为 R`<R 的小球体，如图所 示，试求两球心 O 与 O`处的电场强 度，并证明小球空 腔内的电场为均 强电场． [解答]挖去一块小球体，相当于在该处 填充一块电荷体密度为-ρ 的小球体，因此， 空间任何一点的场强是两个球体产生的场 强的叠加． 对于一个半径为 R，电荷体密度为 ρ 的 球体来说，当场点 P 在球内时，过 P 点作一 半径为 r 的同心球形高斯面，根据高斯定理 可得方程 2 3 0 1 4 4 3 E r r     = P 点场强大小为 0 3 E r   = ． 当场点 P 在球外时，过 P 点作一半径 为 r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得 方程 2 3 0 1 4 4 3 E r R     = P 点场强大小为 3 2 3 0 R E r   = ． O 点在大球体中心、小球体之外．大球 体在 O 点产生的场强为零，小球在 O 点产 生的场强大小为 3 2 0 ` 3 O R E a   = ， 方向由 O 指向 O`． O`点在小球体中心、大球体之内．小球 体在 O`点产生的场强为零，大球在 O 点产 生的场强大小为 ` 0 3 E a O   = ， 方向也由 O 指向 O`． [证明]在小球内任一点 P，大球和小球 产生的场强大 小分别为 0 3 E r r   = ， ` 0 ` 3 E r r   = ， 方向如图所示． 设两场强之间的夹角为 θ，合场强的平 方为 2 2 2 ` ` 2 cos E E E E E = + + r r r r  2 2 2 0 ( ) ( ` 2 `cos ) 3 r r rr    = + + ， 根据余弦定理得 2 2 2 a r r rr = + − − ` 2 `cos( )   ， 所以 0 3 E a   = ， 可见：空腔内任意点的电场是一个常量．还 可以证明：场强的方向沿着 O 到 O`的方 向．因此空腔内的电场为匀强电场． 12．14 如图所示，在 A、B 两点处放 有电量分别为+q 和-q 的点电荷，AB 间距离 为 2R，现将另一 正试验电荷 q 0 从O点经过半圆 弧路径 移到 C 点，求移动过程 中电场力所做的功． [解答]正负电荷在 O 点的电势的和为 零： UO = 0； O R a R` O` 图 13.10 +q -q O B D C A 图 13.11 O a r` O` r Er Er` θ E P