第三章连续型随机变量 定义3.2若5(ω)是随机变量,F(x)是它的分布函数,如果存在函数p(x),使对任意 的x,有 F(x)= p(y)dy 则称5(ω)对连续型随机变量,相应的F(x)为连续型分布函数,同时称p(x)是F(x)的概 率密度函数或简称为密度 密度函数的性质 由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数p(x)必具有下述性质 (1)p(x)≥0; P(rdx= 反过来,任意一个R上的函数p(x),如果具有以上两个性质,即可由定义3.2定义 个分布函数F(x) 如果随机变量5(o)的密度函数为p(x),则对任意的x、x2(x<x2),有 P(x<5(o)<x2)=F(x2)-F(x1)= p(y)d) 这一结果有很简单的几何意义:ξ(ω)落在[x,x]中的概率,恰好等于在区间[x,x2]上 由曲线y=p(x)形成的曲边梯形的面积(图3.4中的阴影部分),而(2)式表明,整个曲线 y=p(x)以下(x轴以上)的面积为 三、概率密度函数与分布函数及概率的关系 由(3.15)式还可以证明,连续型随机变量ξ(ω)取单点值的概率为零,也就是说对 任意的x,P(5(o)=x)=0,于是有 P(x≤()0≤)P(x≤(o)x)+(0)=8)+P(x≤())p(地 如果p(x)在某一范围内的数值比较大,则由上式可知,随机变量落在这个范围内的 概率也较大,这意味着p(x)的确具有“密度”的性质,所以称它为概率密度函数.此外, 由定义式可知,对p(x)的连续点必有 F(x)=p(x) 四、应用举例: 在例3.1中已经知道第三章 连续型随机变量 ·８１· 定义 3.2 若  (ω)是随机变量,F(x)是它的分布函数,如果存在函数 p(x),使对任意 的 x,有 F(x)= − x p(y)dy 则称  (ω)对连续型随机变量,相应的 F(x)为连续型分布函数,同时称 p(x)是 F(x)的概 率密度函数或简称为密度. 二、密度函数的性质: 由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数 p(x)必具有下述性质: (1) p(x)≥0; (2)  + − p(x)dx =1. 反过来,任意一个 R 上的函数 p(x),如果具有以上两个性质,即可由定义 3.2 定义一 个分布函数 F(x). 如果随机变量  (ω)的密度函数为 p(x),则对任意的 x1、x2(x1<x2),有 P(x1≤  (ω)<x2)=F(x2)-F(x1)=  2 1 ( ) x x p y dy 这一结果有很简单的几何意义:  (ω)落在[x1,x2]中的概率,恰好等于在区间[x1,x2]上 由曲线 y=p(x)形成的曲边梯形的面积(图 3.4 中的阴影部分),而(2)式表明,整个曲线 y=p(x)以下(x 轴以上)的面积为 1. 三、概率密度函数与分布函数及概率的关系: 由(3.15)式还可以证明,连续型随机变量  (ω)取单点值的概率为零,也就是说对 任意的 x,P(  (ω)=x)=0,于是有 P(x1≤()≤x2)=P(x1≤()<x2)+P(()=x2)=P(x1≤()<x2)=  2 1 ( ) x x p y dy 如果 p(x)在某一范围内的数值比较大,则由上式可知,随机变量落在这个范围内的 概率也较大,这意味着 p(x)的确具有“密度”的性质,所以称它为概率密度函数.此外, 由定义式可知,对 p(x)的连续点必有 ( ) ( ) ( ) F x p x dx dF x =  = 四、应用举例: 在例 3.1 中已经知道