第三章连续型随机变量 讨论这个问题 正态分布密度函数p(x)的图形如图3.7所示(p=0).由上式及图3.7,可以清楚地看 出,p(x)关于x点对称,在x1处达到极大,当μ固定时,o的值愈小,p(x)的图形就愈 尖、愈狭,σ的值愈大,p(x)的图形就愈平、愈宽.由前面关于密度函数的讨论已经知道, 如果p(x)在μ点附近愈尖、愈高,则随机变量在μ点附近取值的概率也愈大,事实上,对 任一服从N(0,2)的随机变量ξ有 P(-G≤(o)≤G) naJa≈0688 e2a2dx≈0.955 P(3≤5(o)≤3)=1 aax≈0.997 这说明,随机变量ξ的绝对值不超过σ的概率略大于2/3,不超过2σ的概率在95%以 上,而超过3σ的概率只有0.003,即 P(|2|>3o)≈0.003 因为P(||>3σ)很小,在实际问题中常常认为它是不会发生的也就是说,对服从N(0,o2) 分布的随机变ξ来说,基本上可以认为有||≤3,这种近似的说法被一些实际工作者称 作是正态分布的“3σ原则” 由以上的讨论可知,σ反映了随机变量ξ取值的分散程度,那么它与第二章中的方 差又有什么关系呢,对这个问题,我们稍后要作进一步的讨论 现在,细心的同学可能会问,(3.20)、(3.21)、(3.22)中的积分值是如何得到的?在 数学分析中己经掌握的一些数值积分的方法(例如把被积函数用幂级数展开等),在这里 当然用得上.不过前面己经指出,正态分布是概率论和数理统计中最常用的一个分布,为 了避免每一次都去作这种繁重的近似计算,便编制了正态分布表以供查用.但是正态分 布中含有参数μ和σ(o>0),给定不同的一对μ和σ,就有一个不同的正态分布,那当然不 可能对所有不同的μ和σ,都编制对应的正态分布表.事实上,人们只编制了一张p=0、 =1的N(0,1)分布表以供查用.N(0,1)分布常常称为是标准正态分布,其密度函数通常 以φ(x)表示,相应的分布函数则记作d(x),所以 d(x)=∞()=~1 在本书的附录中给出了N(0,1)分布的q(x)和Φ(x)的表.有的同学肯定要问,如果要查 N(μ,G2)分布怎么办?这只要通过一个函数关系(变换)就能解决 设ξ是N(μ,2)分布的随机变量,则第三章 连续型随机变量 ·８４· 讨论这个问题. 正态分布密度函数 p(x)的图形如图 3.7 所示(=0).由上式及图 3.7,可以清楚地看 出,p(x)关于 x= 点对称,在 x= 处达到极大,当  固定时, 的值愈小,p(x)的图形就愈 尖、愈狭, 的值愈大,p(x)的图形就愈平、愈宽.由前面关于密度函数的讨论已经知道, 如果 p(x)在  点附近愈尖、愈高,则随机变量在  点附近取值的概率也愈大,事实上,对 任一服从 N(0, 2 )的随机变量 ,有 P(-≤()≤)= 0.688 2 1 2 2 2  −  −    e dx x P(-2≤()≤2)= 0.955 2 1 2 2 2 2 2  −  −    e dx x P(-3≤()≤3)= 0.997 2 1 3 3 2 2 2  −  −    e dx x 这说明,随机变量  的绝对值不超过  的概率略大于 2／3,不超过 2  的概率在 95℅以 上,而超过 3 的概率只有 0.003,即 P(||>3)≈0.003 因为P(||>3)很小,在实际问题中常常认为它是不会发生的.也就是说,对服从N(0, 2 ) 分布的随机变  来说,基本上可以认为有||≤3,这种近似的说法被一些实际工作者称 作是正态分布的“3 原则”. 由以上的讨论可知,  反映了随机变量  取值的分散程度,那么它与第二章中的方 差又有什么关系呢,对这个问题,我们稍后要作进一步的讨论. 现在,细心的同学可能会问,(3.20)、(3.21)、(3.22)中的积分值是如何得到的？在 数学分析中已经掌握的一些数值积分的方法(例如把被积函数用幂级数展开等),在这里 当然用得上.不过前面已经指出,正态分布是概率论和数理统计中最常用的一个分布,为 了避免每一次都去作这种繁重的近似计算,便编制了正态分布表以供查用.但是正态分 布中含有参数  和 (>0),给定不同的一对  和 ,就有一个不同的正态分布,那当然不 可能对所有不同的  和 ,都编制对应的正态分布表.事实上,人们只编制了一张 =0、 =1 的 N(0,1)分布表以供查用.N(0,1)分布常常称为是标准正态分布,其密度函数通常 以  (x)表示,相应的分布函数则记作  (x),所以  (x)=  − − − = x y x y dy e dy 2 2 2 1 ( )   在本书的附录中给出了 N(0,1)分布的  (x)和  (x)的表.有的同学肯定要问,如果要查 N(, 2 )分布怎么办？这只要通过一个函数关系(变换)就能解决. 设  是 N(, 2 )分布的随机变量,则