12 209a.nb 但是在空间上,却可以改变一端的振动情况,影响整个体系的振动 这样,广义边界条件就包括在“开表面”和“闭表面”上给定函数(或/和其导数)的值。 “闭表面”:需给定“两端”的函数值或其导数值,“两端”的值对解均有影响 “开表面”:只需(也只有)“一端”的函数值(和其导数值),只有“一端”的值对解有影响。 因此,广义边界条件可分为几种 1. Cauchy条件:给定广义边界上的函数和其(法向)导数的值 2. Dirichlet条件:给定广义边界上的函数的值。 3. Neumann条件:给定广义边界上法向导数的值 4. Robin条件:给定广义边界上函数值和其法向导数值的线性组合。 不同类型的微分方程,确定唯一解的广义边界条件(辅助条件)也不同, 1.椭圆型:诸如 Laplace方程的椭圆型方程, 各变量本质相同(对应的本征值均不为零且同号) 必须对各变量(物理上对应于在空间边界)闭表面给定: 函数值( Dirichlet条件)或其导数值( Neumann条件)或函数与其导数的线性组合值( Robin条件) 在空间边界(闭表面)同时给定函数值和其导数值( Cauchy条件)可能导致条件过于苛刻而无解 2.抛物型:诸如扩散方程的抛物型方程 有一个变量特殊(对应的本征值为0) 必须对此变量(物理上对应于在某些时刻)开表面给定函数值 同时对其他变量(物理上对应于在空间边界)闭表面给定函数值或其导数值或二者的线性组合 在空间边界(闭表面)同时给定函数值和其导数值可能导致条件过于苛刻而无解 3.双曲型:诸如波动方程的双曲型方程, 有一个变量特殊(对应的本征值与其他变量对应的本征值反号) 必须对此变量(物理上对应于在某些时刻)开表面给定函数值和其导数值( Cauchy条件) 同时对其他变量(物理上对应于空间边界)闭表面给定函数值或其导数值或二者的线性组合值 在空间边界(闭表面)同时给定函数值和其导数值可能导致无解 下图总结了不同类型的偏微分方程之辅助(附加)条件。即使给定“开表面”的“边界条件”,也影响不了区域的解。 l orau/ay 引求解区引求解区5求解区 l or au/ay u or au/ax u or du/a: 椭圆型方程 双曲型方程 抛物型方程 思考:物理上容易判断,哪一个变量是空间变量,哪一个是时间变量,空间(时间)变量对应于闭(开)表面。 而数学上 是通过判断某个变量与其它变量不同(对应的本征值与“它人”反号)来判断哪一个变量对应于开表面 对一维波动方程:m-a2ax=0,如何判断?但是在空间上，却可以改变一端的振动情况，影响整个体系的振动。 这样，广义边界条件就包括在“开表面”和“闭表面”上给定函数（或/和 其导数）的值。 “闭表面”：需给定“两端”的函数值或其导数值，“两端”的值对解均有影响。 “开表面”：只需（也只有）“一端”的函数值（和其导数值），只有“一端”的值对解有影响。 因此，广义边界条件可分为几种： 1. Cauchy 条件： 给定广义边界上的函数 和其（法向）导数的值。 2. Dirichlet 条件： 给定广义边界上的函数的值。 3. Neumann 条件：给定广义边界上法向导数的值。 4. Robin 条件： 给定广义边界上函数值和其法向导数值的线性组合。 不同类型的微分方程，确定唯一解的广义边界条件（辅助条件）也不同。 1. 椭圆型：诸如Laplace方程的椭圆型方程， 各变量本质相同 （对应的本征值均不为零且同号 ） 必须对各变量 （物理上对应于在空间边界 ） 闭表面给定： 函数值 （Dirichlet条件） 或 其导数值 （Neumann条件） 或 函数与其导数的线性组合值 （Robin条件）。 在空间边界 （闭表面） 同时给定函数值 和其导数值 （Cauchy 条件） 可能导致条件过于苛刻而无解 。 2. 抛物型：诸如扩散方程的抛物型方程， 有一个变量特殊 （对应的本征值为 0） 必须对此变量 （物理上对应于在某些时刻 ） 开表面给定函数值 ， 同时对其他变量 （物理上对应于在空间边界 ） 闭表面给定函数值 或其导数值或二者的线性组合 。 在空间边界 （闭表面） 同时给定函数值和其导数值可能导致条件过于苛刻而无解 。 3. 双曲型：诸如波动方程的双曲型方程， 有一个变量特殊 （对应的本征值与其他变量对应的本征值反号 ） 必须对此变量 （物理上对应于在某些时刻 ） 开表面给定函数值 和其导数值 （Cauchy条件） 同时对其他变量 （物理上对应于空间边界 ） 闭表面给定函数值 或其导数值 或二者的线性组合值 。 在空间边界 （闭表面） 同时给定函数值和其导数值可能导致无解 。 下图总结了不同类型的偏微分方程之辅助（附加）条件。即使给定“开表面”的“边界条件”，也影响不了区域的解。 t u or ∂ u/∂ x t y u or ∂ u/∂ y u or ∂ u/∂ y x x u or ∂ u/∂ x x u or ∂ u/∂ x u or ∂ u/∂ x 椭圆型方程 双曲型方程 抛物型方程 求解区 求解区 求解区 思考：物理上容易判断 ，哪一个变量是空间变量 ，哪一个是时间变量 ，空间 （时间） 变量对应于闭 （开） 表面。 而数学上 ， 是通过判断某个变量与其它变量不同 （对应的本征值与 “它人” 反号） 来判断哪一个变量对应于开表面 ， 对一维波动方程 ：utt - a2 ux x = 0，如何判断 ？ 12 z09a.nb