z09a.nb11 Q一般的多变量情况 对更多变量的偏微分方程,也可以先考虑以下简单形式(注意不再区分t与x) ∑Aaby9=0,其中A为实对称矩阵,=010x (思考:为何A一定为实对称矩阵。 判断方程类型的方法是:将矩阵A对角化,方程化为如下形式 实对称矩阵的本征值必为实数,故A为实数,为A矩阵对应于M的本征矢量构成的新变量。 1.若所有本征值A均不为0且同号,则称为椭圆型方程 Laplace方程是椭圆型方程,与空间维度无关 2.若所有本征值A均不为0但有正有负,须再分两种情况 a.若只有一个本征值与其他本征值反号,则称为双曲型方程。 波动方程是双曲型方程,与空间维度无关。与时间变量相关的本征值与其它本征值反号。 b.若有多个本征值与大多数本征值反号,则称为超双曲型方程。 某些本征值为0,则称为抛物型方程 常见的情况是:仅有一个本征值为0且与该本征值相关的变量有一阶导数项 扩散方程是抛物型方程,与空间维度无关 以上判断对如下形式的更一般的二阶线性偏微分方程,仍然可用。 Ay aa/+>Bk Ok+Cy+D=0. Q求解偏微分方程的辅助(附加)条件 为何要对二阶偏微分方程进行分类: 1.因为所有二阶偏微分方程的行为均落入这三类 2.因为不同类型的偏微分方程,确定唯一解的辅助(附加)条件不同 辅助(附加)条件包括:边界条件和初始条件,这是基于物理观点 从物理上我们隐约感知到 在空间的边界上给出函数或其导数的值,称为边界条件: 在一些初始时刻给出函数和其导数的值,称为初始条件。 但从数学上看,哪一个是“时间”,哪一些是“空间”变量?都是变量,无从区分 正如在微分方程分类中所看到的,对椭圆型方程,所有自变量均对应于物理上的空间变量,需要边界条件。 而对双曲型和抛物型方程,有一个与其它变量不同的“特殊”变量,这个变量,应该对应于物理上的时间变量。 对双曲型方程,这个“特殊变量”对应于的本征值与其它本征值反号 对抛物型方程,这个“特殊变量”所对应于本征值为0 对这个“特殊”变量(对应于物理上的时间变量),相应地,“边界”条件称为初始条件 有时,数学上把初始条件也看成一种(广义的)边界条件(时间边界) 然而,物理上的因果关系要求,对于时间变量,有某个“边界”对确定微分方程的解没有帮助。 例如:在时间上,我们不可能通过改变明天的振动情况,影响今天的振动 一般的多变量情况 对更多变量的偏微分方程，也可以先考虑以下简单形式（注意不再区分 t 与 x）  i, j N Aij ∂i ∂ j φ = 0, 其中 Aij 为实对称矩阵 , ∂ j = ∂ /∂ x j （思考：为何 Aij 一定为实对称矩阵 。利用 ∂i ∂ j φ = ∂ j ∂i φ 对称化） 判断方程类型的方法是：将矩阵 Aij 对角化，方程化为如下形式：  i N Λi ∂2 φ ∂ ζi 2 = 0, 实对称矩阵的本征值必为实数 ，故 Λi 为实数，ζi 为 A 矩阵对应于 Λi 的本征矢量构成的新变量 。 1. 若所有本征值 Λi 均不为 0 且同号，则称为椭圆型方程。 Laplace方程是椭圆型方程 ，与空间维度无关 。 2. 若所有本征值 Λi 均不为 0 但有正有负，须再分两种情况 a. 若只有一个本征值与其他本征值反号，则称为双曲型方程。 波动方程是双曲型方程 ，与空间维度无关 。与时间变量相关的本征值与其它本征值反号 。 b. 若有多个本征值与大多数本征值反号，则称为超双曲型方程。 3. 某些本征值为 0，则称为抛物型方程。 常见的情况是 ：仅有一个本征值为 0 且与该本征值相关的变量有一阶导数项 。 扩散方程是抛物型方程 ，与空间维度无关 。 以上判断对如下形式的更一般的二阶线性偏微分方程，仍然可用。  i, j N Aij ∂i ∂ j φ +  k N Bk ∂k φ + C φ + D = 0。  求解偏微分方程的辅助（附加）条件 为何要对二阶偏微分方程进行分类： 1. 因为所有二阶偏微分方程的行为均落入这三类； 2. 因为不同类型的偏微分方程，确定唯一解的辅助（附加）条件不同。 辅助（附加）条件包括：边界条件和初始条件，这是基于物理观点。 从物理上我们隐约感知到： 在空间的边界上给出函数或其导数的值 ，称为边界条件 ； 在一些初始时刻给出函数和其导数的值 ，称为初始条件 。 但从数学上看，哪一个是“时间”，哪一些是“空间”变量？都是变量，无从区分。 正如在微分方程分类中所看到的，对椭圆型方程，所有自变量均对应于物理上的空间变量，需要边界条件。 而对双曲型和抛物型方程，有一个与其它变量不同的“特殊”变量，这个变量，应该对应于物理上的时间变量。 对双曲型方程，这个“特殊变量”对应于的本征值与其它本征值反号。 对抛物型方程，这个“特殊变量”所对应于本征值为 0。 对这个“特殊”变量（对应于物理上的时间变量），相应地，“边界”条件称为初始条件。 有时，数学上把初始条件也看成一种（广义的）边界条件（时间边界）。 然而，物理上的因果关系要求，对于时间变量，有某个“边界”对确定微分方程的解没有帮助。 例如：在时间上，我们不可能通过改变明天的振动情况，影响今天的振动， z09a.nb 11