z09anb13 Q三种常见物理问题的定解条件 我们涉及的三种问题包括:波动问题、扩散(热传导)问题和稳定问 描述问题的偏微分方程分属三种类型:双曲型、抛物型和椭圆形 定解条件是求出问题唯一解所需要的条件,除了微分方程, 还需边界条件、初始条件,可能还有衔接条件、自然条件、周期条件、辐射条件等 定解问题:微分方程(也称为泛定方程)+附加条件(包括边条、初条、自然、周期、衔接等) 波动问题的微分方程属双曲型,对一维情况,定解条件为 泛定方程 初始条件:ax,0)=p(x)和u(x,D)=(x) 初始位移和初始速度 ( Cauchy条件) 0,D=p(1)和a(l,1=q(0 Dirichlet条件(第一类边条) 边界条件:40.0=O0和a(0=0Nm条件(第二类边条)若 或 则称为齐次边条 aa(0,1)+Ba(0,D)=p(n) au, 1)+Bur(,1=g(o Robin条件(第三类边条) 关于这三类边界条件的例题,可见§9.1。 以上是对均匀体系,对分区均匀体系,还需要在衔接处的衔接(连接)条件。 目例1:长为l的细杆在xo左右两边由不同材料、截面积的杆组成,杆在x=0端固定,另一端受压缩 受压后杆长缩为K1-ε),在t=0时刻放手,试写出杆纵振动的定解条件 振动方程:{4(,0-am(x0=0.0=x,4=VHP1 lr(x,D)-ax(x,=0,x≤x≤l, 边界条件:固定端:(0,=0,自由端:a2(,1)=0。两端分别为第一类和第二类齐次边条 连接条件:{可,D=m对,0, 杆不断开,位移相同 SY1u4(x,D=S2Y2l(咕,D,x两边的作用力等于反作用力(负号去哪啦?) 其中:S1H1a2(x,D为x右边对x0左边的拉力,S2H22(x,1为x左边对x右边的拉力 初始条件:{0x0)=-Ex, 见下详细解答 a(x,0)=0, 刚放手时,杆还来不及动,初始速度为0 在t=0-时,杆静止,既无初速度,也无初加速度(但存在初位移)。令:v(x)=l(x,0-) 看从x到x+dx的一小段:YSv(x+dx)-YSv2(x)= p drum(x,0)=0=x=0="=cx+b 从而,{在x<和"=C1x+b四个待定系数:c1,e2,b1,b2 由连接条件:v(x)=vx),S1Y1u(x,D=S2Y2l1(对,D,固定端:v(0)=0,受压端:v=-lE 解得:b1=b2=0,c1=c2=-E 目例2:长为l线密度为p的细弦两端固定,开始时在{x-d<E处受冲量/作用,写出定解条件 解:振动方程:un(x,D-a2ux(r,D)=0,0≤x≤l 边界条件:固定两端:a(O,D)=0=a(,l)。两端均为第一类齐次边条 初始条件:{ax0=0, 还没来得及动,初位移为0 (x,0)=?,得到冲量,必有速度 三种常见物理问题的定解条件 我们涉及的三种问题包括：波动问题、扩散（热传导）问题和稳定问题， 描述问题的偏微分方程分属三种类型：双曲型、抛物型和椭圆形。 定解条件是求出问题唯一解所需要的条件，除了微分方程， 还需边界条件、初始条件，可能还有衔接条件、自然条件、周期条件、辐射条件等。 定解问题：微分方程 （也称为泛定方程）+ 附加条件（包括边条、初条、自然、周期、衔接等） 1. 波动问题 波动问题的微分方程属双曲型，对一维情况，定解条件为： 泛定方程 ： utt(x, t) - a2 uxx (x, t) = 0 初始条件 ： u(x, 0) = φ(x) 和 ut(x, t) = ψ(x) 初始位移和初始速度 （Cauchy 条件） 边界条件 ： u(0, t) = p(t) 和 u(l, t) = q(t) Dirichlet 条件 （第一类边条 ） 或 ux(0, t) = p  (t) 和 ux(l, t) = q  (t) Neumman条件 （第二类边条 ） 或  α u (0, t) + β ux(0, t) = p(t) α′ u(l, t) + β′ ux(l, t) = q (t) Robin条件 （第三类边条 ） 若 p(t), q(t) = 0, 则称为齐次边条 关于这三类边界条件的例题，可见 § 9.1。 以上是对均匀体系，对分区均匀体系，还需要在衔接处的衔接（连接）条件。 ☺ 例 1：长为 l 的细杆在 x0 左右两边由不同材料、截面积的杆组成，杆在 x = 0 端固定，另一端受压缩， 受压后杆长缩为 l(1 - ε)，在 t = 0 时刻放手 ，试写出杆纵振动的 定解条件。 0 x0 l 解：振动方程 ： utt (x, t) - a1 2 uxx(x, t) = 0, 0 ≤ x ≤ x0, a1 = Y1 /ρ1 utt (x, t) - a2 2 uxx (x, t) = 0, x0 ≤ x ≤ l, a2 = Y2 /ρ2 边界条件 ：固定端：u(0, t) = 0, 自由端： ux(l, t) = 0。两端分别为第一类和第二类齐次边条 。 连接条件 ： u(x0 -, t) = u(x0 +, t) , 杆不断开 ，位移相同 S1 Y1 ux(x0 -, t) = S2 Y2 ux(x0 +, t), x0 两边的作用力等于反作用力 （负号去哪啦 ？） 其中：S1 Y1 ux(x0 -, t) 为 x0 右边对 x0 左边的拉力 ，S2 Y2 ux(x0 +, t) 为 x0 左边对 x0 右边的拉力 初始条件 ： u(x, 0) = -ε x , 见下详细解答 ut(x, 0) = 0, 刚放手时，杆还来不及动 ，初始速度为 0 在 t = 0- 时，杆静止，既无初速度 ，也无初加速度 （但存在初位移 ）。令：v(x) = u(x, 0-) 看从 x 到 x + x 的一小段 ：Y S vx(x + x) - Y S vx(x) = ρ x utt(x, 0) = 0 ⟹ vxx = 0 ⟹ v = c x + b 从而， 在 x < x0, v = c1 x + b1 在 x > x0, v = c2 x + b2 四个待定系数 ：c1, c2, b1, b2 由连接条件 ：v(x0 -) = v(x0 +), S1 Y1 ux(x0 -, t) = S2 Y2 ux(x0 +, t)，固定端：v(0) = 0，受压端：v(l) = -l ε 解得：b1 = b2 = 0, c1 = c2 = -ε ☺ 例 2：长为 l 线密度为 ρ 的细弦两端固定，开始时在 x - c < ε 处受冲量 I 作用，写出定解条件。 解：振动方程 ：utt(x, t) - a2 uxx(x, t) = 0, 0 ≤ x ≤ l 边界条件 ：固定两端 ：u(0, t) = 0 = u(l, t)。两端均为第一类齐次边条 。 初始条件 ： u(x, 0) = 0 , 还没来得及动 ，初位移为 0 ut(x, 0) = ? , 得到冲量 ，必有速度 z09a.nb 13