第2期 马利民：欠驱动AUV全局无抖振滑模轨迹跟踪控制 ·203· 考虑到系统建模不准确，可能引起控制器性能 S2为 极度下降，定义系统不确定项为 S2=r.+ew+入3(m.+ew) (20) f=(m-m)(a.-元 、u）- 式中：。=r-T4,ew=业-中。=少。-中e,入3为正常 数。同样，对式(20)求导，得到 (mz-mz2)vr +(du-du)u (13) 控制器T。设计为 5:-I[(mn -ma)un-dar+a+rm+ m33 u。入2 7=m（u: u.）-m2r+ ew+入3(r。+ew) (21) 定义系统不确定项为 duu+f-k S:-B (14) f5=(m33-mg)(ra-ew-入3(r。+ew））- 式中：考虑到计算u.的复杂性，采用反馈控制量 (mn-m2-m1+mz）uw+（d3-d3)r .=一k山.。为不确定项f的估计值，k,为正常 (22) 数，B(i=1,2)为鲁棒项，定义为 控制器7，设计为 S 5.Ts.I' S≠0 T,=m3[ra-ew-入，(r。+e）]-(m1-mz2)uw+ B:= (15) 0, S:=0 daar +f2-k2S2-B2 (23) 式中：δ，为有界扰动δ，的估计值，即1TnI≤6。设 式中：方为不确定项f方的估计值，k,为待设计的正常 计的控制器自适应律为 数，B,为鲁棒项，定义如式(15)。82为有界扰动8，的 估计值，即|TB|≤⊙2。设计控制器自适应律为 f=-TS,-o「i (16) 6=-「⅓S2-0,「5 8,=I1S,l-os6, δ2=T6a1S21-0o,Tsδ2 (24) 式中：「、「d,为待设计正常数。%、06(i=1,2) 式中：「2和「，为待设计的正常数，控制器切换参数 为控制器切换参数： 如式(17)中定义。下面进一步验证控制器T,能够实 0,IfI≤No 现航向角及角速度跟踪控制，选取Lyapunov函数为 -), o=c。N6 N%≤IfI≤2Na 4=2m+公7,2+「8，(25) 1 fo, 1fI≥2N6 式中：了2=-，82=62-δ2。对式(25)求导，得到 0,161≤No 2≤-kS2+ghf6+06,⊙2(26) 因此，航向角和角速度跟踪误差都将收敛到原 s so Nao -1), No≤IδI≤2N60 点附近的一个小的邻域。 18I≥2N如 3 稳定性分析 (17) 定理1对给定AUV参考轨迹如式(3)，满足 式中：N。、N,、·%和o,均为正常数。下面验证 假设条件1和2，虚拟控制量如式(11)，控制器设 控制器t.能够实现纵向速度控制。选取Lyapunov 计如式(14)和(23)，自适应律为(16)和(24)，以及 函数为 鲁棒控制采用式(15)和(17)，通过合理的选择控制 =2六m+以7，+8a) 器参数k,、k、k、k、k、「h、Th、T6、 0Oh、0,和、实现欠驱动AUV轨迹跟踪误差 式中：了1=f-f,δ=8，-6。对式(8)求导得到： 的全局一致最终有界，且满足控制输入及速度约束 71≤-k+0了f+068,δ：(19) 条件。 因此，纵向速度跟踪误差和自适应估计误差将渐近 证明首先，给出速度跟踪误差的收敛性证 收敛到原点附近的一个小的邻域内。具体理论分析 明。根据上述控制器设计分析，构造Lyapunov函数 证明将在下面的稳定性分析中给出。 V3=V,+V2,对其求导，得到 然后，考虑航向角和角速度跟踪控制，取滑模面 V3=V1+V2≤考虑到系统建模不准确，可能引起控制器性能 极度下降，定义系统不确定项 ｆ １ 为 ｆ １ ＝ （ｍ１１ － ｍ ＾ １１ ）（ｕ · ｃ － ｕ ¨ ｅ λ１ － λ２ λ１ ｕｅ） － （ｍ２２ － ｍ ＾ ２２ ）ｖｒ ＋ （ｄ１１ － ｄ ＾ １１ ）ｕ （１３） 控制器 τｕ 设计为 τｕ ＝ ｍ ＾ １１（ｕ ̇ ｃ － ｕ ¨ ｅ λ１ － λ２ λ１ ｕｅ） － ｍ ＾ ２２ ｖｒ ＋ ｄ ＾ １１ ｕ ＋ ｆ ＾ １ － ｋ１ Ｓ１ － Ｂ１ （１４） 式中：考虑到计算 ｕ ¨ ｅ 的复杂性，采用反馈控制量 ｕ ¨ ｅ ＝ － ｋｕ ｕ ̇ ｅ 。 ｆ ＾ １ 为不确定项 ｆ １ 的估计值， ｋ１ 为正常 数， Ｂｉ（ｉ ＝ １，２） 为鲁棒项，定义为 Ｂｉ ＝ δ ＾ ｉ Ｓｉ Ｓｉ ， Ｓｉ ≠ ０ ０， Ｓｉ ＝ ０ ì î í ï ï ïï （１５） 式中： δ ＾ １ 为有界扰动 δ１ 的估计值，即 ｜ τｄ１ ｜ ≤ δ１ 。 设 计的控制器自适应律为 ｆ ＾ · １ ＝ － Γｆ１ Ｓ１ － σｆ１ Γｆ１ ｆ ＾ １ δ ＾ · １ ＝ Γδ１ ｜ Ｓ１ ｜ － σδ１ Γδ１ δ ＾ １ （１６） 式中： Γｆ１ 、 Γδ１ 为待设计正常数。 σｆ ｉ 、 σδｉ （ｉ ＝ １，２） 为控制器切换参数： σｆ ｉ ＝ ０， ｜ ｆ ｉ ｜ ≤ Ｎｆ０ σｆ０ （ ｆ ｉ Ｎｆ０ － １）， Ｎｆ０ ≤｜ ｆ ｉ ｜ ≤ ２Ｎｆ０ σｆ０ ， ｜ ｆ ｉ ｜ ≥ ２Ｎｆ０ ì î í ï ï ï ï ï ï σδｉ ＝ ０， ｜ δｉ ｜ ≤ Ｎδ０ σδ０ （ δｉ Ｎδ０ － １）， Ｎδ０ ≤｜ δｉ ｜ ≤ ２Ｎδ０ σδ０ ， ｜ δｉ ｜ ≥ ２Ｎδ０ ì î í ï ï ï ï ï ï （１７） 式中： Ｎβ０ 、 Ｎδ０ 、 σβ０ 和 σδ０ 均为正常数。 下面验证 控制器 τｕ 能够实现纵向速度控制。 选取 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数为 Ｖ１ ＝ １ ２λ１ ｍ１１ Ｓ ２ １ ＋ １ ２ Γ －１ ｆ１ ｆ ～ １ ２ ＋ １ ２ Γ －１ δ１ δ ～ １ ２ （１８） 式中： ｆ ～ １ ＝ ｆ １ － ｆ ＾ １ ， δ ～ １ ＝ δ１ － δ ＾ １ 。 对式（８）求导得到： Ｖ · １ ≤－ ｋ１ Ｓ ２ １ ＋ σｆ１ ｆ ～ １ ｆ ＾ １ ＋ σδ１ δ ～ １ δ ＾ １ （１９） 因此，纵向速度跟踪误差和自适应估计误差将渐近 收敛到原点附近的一个小的邻域内。 具体理论分析 证明将在下面的稳定性分析中给出。 然后，考虑航向角和角速度跟踪控制，取滑模面 Ｓ２ 为 Ｓ２ ＝ ｒｅ ＋ ｅψ ＋ λ３ ∫（ｒｅ ＋ ｅψ） （２０） 式中： ｒｅ ＝ ｒ － ｒｄ ， ｅψ ＝ ψ － ψｃ ＝ ψｅ － ψｅｃ ， λ３ 为正常 数。 同样，对式（２０）求导，得到 Ｓ · ２ ＝ １ ｍ３３ ［（ｍ１１ － ｍ２２ ）ｕｖ － ｄ３３ ｒ ＋ τｄ３ ＋ τｒ － ｍ３３ ｒ · ｄ ］ ＋ ｅ · ψ ＋ λ３（ｒｅ ＋ ｅψ） （２１） 定义系统不确定项 ｆ ２ 为 ｆ ２ ＝ （ｍ３３ － ｍ ＾ ３３ ）（ｒ · ｄ － ｅ · ψ － λ３（ｒｅ ＋ ｅψ）） － （ｍ１１ － ｍ２２ － ｍ ＾ １１ ＋ ｍ ＾ ２２ ）ｕｖ ＋ （ｄ３３ － ｄ ＾ ３３ ）ｒ （２２） 控制器 τｒ 设计为 τｒ ＝ ｍ ＾ ３３ ［ｒ · ｄ － ｅ · ψ － λ３（ｒｅ ＋ ｅψ）］ － （ｍ ＾ １１ － ｍ ＾ ２２ ）ｕｖ ＋ ｄ ＾ ３３ ｒ ＋ ｆ ＾ ２ － ｋ２ Ｓ２ － Ｂ２ （２３） 式中： ｆ ＾ ２ 为不确定项 ｆ ２ 的估计值， ｋ２ 为待设计的正常 数， Ｂ２ 为鲁棒项，定义如式（１５）。 δ ＾ ２ 为有界扰动 δ２ 的 估计值，即 ｜ τｄ３ ｜ ≤ δ２ 。 设计控制器自适应律为 ｆ ＾ · ２ ＝ － Γｆ２ Ｓ２ － σｆ２ Γｆ２ ｆ ＾ ２ δ ＾ · ２ ＝ Γδ２ ｜ Ｓ２ ｜ － σδ２ Γδ２ δ ＾ ２ （２４） 式中： Γｆ２ 和 Γδ２ 为待设计的正常数，控制器切换参数 如式（１７）中定义。 下面进一步验证控制器 τｒ 能够实 现航向角及角速度跟踪控制，选取 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数为 Ｖ２ ＝ １ ２ ｍ３３ Ｓ ２ ２ ＋ １ ２ Γ －１ ｆ２ ｆ ～ ２ ２ ＋ １ ２ Γ －１ δ２ δ ～ ２ ２ （２５） 式中： ｆ ～ ２ ＝ ｆ ２ － ｆ ＾ ２ ， δ ～ ２ ＝ δ２ － δ ＾ ２ 。 对式（２５）求导，得到 Ｖ · ２ ≤－ ｋ２ Ｓ ２ ２ ＋ σｆ２ ｆ ～ ２ ｆ ＾ ２ ＋ σδ２ δ ～ ２ δ ＾ ２ （２６） 因此，航向角和角速度跟踪误差都将收敛到原 点附近的一个小的邻域。 ３ 稳定性分析 定理 １ 对给定 ＡＵＶ 参考轨迹如式（３），满足 假设条件 １ 和 ２， 虚拟控制量如式（１１），控制器设 计如式（１４）和（２３），自适应律为（１６）和（２４），以及 鲁棒控制采用式（１５）和（１７），通过合理的选择控制 器参数 ｋｐ 、 ｋ － ｐ 、 ｋ１ 、 ｋ２ 、 ｋｕ 、 Γｆ１ 、 Γｆ２ 、 Γδ１ 、 Γδ２ 、 σｆ１ 、σｆ２ 、 σδ１ 和 σδ２ 、实现欠驱动 ＡＵＶ 轨迹跟踪误差 的全局一致最终有界，且满足控制输入及速度约束 条件。 证明 首先，给出速度跟踪误差的收敛性证 明。 根据上述控制器设计分析，构造 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数 Ｖ３ ＝ Ｖ１ ＋ Ｖ２ ，对其求导，得到 Ｖ · ３ ＝ Ｖ · １ ＋ Ｖ · ２ ≤ 第 ２ 期 马利民：欠驱动 ＡＵＶ 全局无抖振滑模轨迹跟踪控制 ·２０３·