·204. 智能系统学报 第11卷 -kS-kS号+∑(of+oδ6，)(27) 2)速度r的有界性：根据控制器设计，角速度r i=1,2 在控制器T,下可实现速度跟踪，即r=T,而参考轨 利用表达式 迹是有界的，所以角速度r有界。 0f=0∫f-f)≤ 3)速度：的有界性：根据AUV动力学模型(2)， -0:+0( 速度u、r和扰动项T2均有界，所以速度v有界。 4)横向速度跟踪误差，的收敛性：定义横向速 1 2产：+22 度误差U。=v-U。。根据虚拟控制量航向角中.=0- p,或中e=T+0-p可知： o666=o68(δ-6：)≤ Yu-Xv tan中oe= (33) -0682,+06( Xu Yu 进一步整理，得 1 1 -208+200 (28) v=t。+Tu (34) 根据式(17)，可知 式中：T=cos.F-sin 所以要保证横向速 0f2≤40%N。+o cos中.下+sin中了 (29) 0682≤4o6N,+046 度误差v.收敛，主要验证T,是否有界。而根据非线 结合式(28)和(29)，对式(27)整理得到 性理论，T的有界性可根据两点保证：1)Tu。有 ,≤-k-4-u产，+）+ 界；2)当4.=0时，T4.=0。第一点可由和.有 界，根据式(34)保证Tu。有界：针对第二点，已知 三(0+a)+如a%+如M 4。=0和ew=0,则式(8)等于零，即横向速度v=。, 再结合式(34)可知，T.u=0。综上所述，T.有界， -uV C 。=Tu。保证了横向速度误差的收敛性。 u=min2kA,2kAo(T万'n( 最后，验证位置跟踪误差的收敛性。针对外环 控制系统，我们假设速度控制环已完成很好跟踪效 G=如N+如N+￡.o+“8 果，即u=山。，0=.和r=4,且e=0,即.=中e。 根据位置误差定义 (30) 对式(30)进一步整理得到 x。=x-xa= 0≤'，(t)≤V,(0)e"+C/u (31) ucos中-vsin中-uacosψ.+vasin中u= 因此，系统的速度跟踪误差、航向角跟踪误差以 (cosψ.X+sinψ.Y)cosh-（-sinb.X+ 及自适应估计误差均收敛到原点附近的一个小的邻 域内，且收敛半径可通过适当增大式(30)中的增益 cos中.Y)siny-uacosψa+vasinψa= 值u来减小。 -k,tanh(k) 接下来，进一步验证速度跟踪控制量的有界性 及横向速度v跟踪误差的收敛性。 y。=y-ya= 1)速度u的有界性：根据上述分析，速度”在控 usinψ+vcos中-uasin中a-Vacos中a= 制器r。下可实现速度跟踪，即u=u。,所以虚拟速度 (cos业.X+sin.Y)sin业+(-sinψ.X+ 控制量u.有界，即可保证速度u的有界性。根据式 cosψY)cosψ-4 asin a-ucos中a= (11)得到， -kptanh(kpy.) |u.|=cosψ.X+sin中Y|≤ 所以，位置跟踪控制误差x。和y。均收敛到零。 1ua4I+lvaI+√2k。 (32) 根据假设L,1山.|≤u,所以控制参数k,应满 而航向跟踪误差山。=。，根据滑模面S,的设计，可 足0<长，≤太-一-，保证了虔拟 以保证收敛到零，同时也=山。一e。也收敛到零。再 √2 结合式(11)，可知虚拟速度量u.和v,分别收敛到u。 速度控制量“。的有界性，同时也验证了假设条件2。 和4。综上所述，本文给出了完整且严谨的轨迹跟－ ｋ１ Ｓ ２ １ － ｋ２ Ｓ ２ ２ ＋ ｉ∑＝ １，２ （σｆ ｉ ｆ ～ ｉ ｆ ＾ ｉ ＋ σδｉ δ ～ ｉ δ ＾ ｉ） （２７） 利用表达式 σｆ ｉ ｆ ｉ ｆ ＾ ｉ ＝ σｆ ｉ ｆ ～ ｉ（ｆ ｉ － ｆ ～ ｉ） ≤ － σｆ ｉ ｆ ～ ２ ｉ ＋ σｆ ｉ （ ｆ ～ ２ ｉ ＋ ｆ ｉ ２ ２ ） ≤ － １ ２ σｆ ｉ ｆ ～ ２ ｉ ＋ １ ２ σｆ ｉ ｆ ｉ ２ σδｉ δｉ Ｔ δ ＾ ｉ ＝ σδｉ δ ～ Ｔ ｉ（δｉ － δ ～ ｉ） ≤ － σδｉ δ ～ ２ ｉ ＋ σδｉ （ δ ～ ２ ｉ ＋ δｉ ２ ２ ） ≤ － １ ２ σδｉ δ ～ ２ ｉ ＋ １ ２ σδｉ δｉ ２ （２８） 根据式（１７），可知 σｆ ｉ ｆ ｉ ２ ≤ ４σｆ０ Ｎｆ０ ＋ σｆ０ ｆ ｉ ２ σδｉ δｉ ２ ≤ ４σδ０ Ｎδ０ ＋ σδ０ δｉ ２ （２９） 结合式（２８）和（２９），对式（２７）整理得到 Ｖ · ３ ≤－ ｋ１ Ｓ ２ １ － ｋ２ Ｓ ２ ２ － １ ２ ｉ∑＝ １，２ （σｆ ｉ ｆ ～ ２ ｉ ＋ σδｉ δ ～ ２ ｉ） ＋ ｉ∑＝ １，２ （σｆ０ ｆ ｉ ２ ＋ σδ０ δｉ ２ ） ＋ ４σβ０ Ｎｆ０ ＋ ４σδ０ Ｎδ０ ≤ － μＶ３ ＋ Ｃ μ ＝ ｍｉｎ｛２ｋ１λ１ ，２ｋ２ ， σｆ ｉ λｍａｘ（Γ －１ ｆ ｉ ） ， σδｉ λｍａｘ（Γ －１ δ ｉ ） ｝ Ｃ ＝ ４σｆ０ Ｎｆ０ ＋ ４σδ０ Ｎδ０ ＋ ｉ∑＝ １，２ （σｆ０ ｆ ｉ ２ ＋ σδ０ δｉ ２ ） （３０） 对式（３０）进一步整理得到 ０ ≤ Ｖ３（ｔ） ≤ Ｖ３（０）ｅ －μｔ ＋ Ｃ ／ μ （３１） 因此，系统的速度跟踪误差、航向角跟踪误差以 及自适应估计误差均收敛到原点附近的一个小的邻 域内，且收敛半径可通过适当增大式（３０）中的增益 值 μ 来减小。 接下来，进一步验证速度跟踪控制量的有界性 及横向速度 ｖ 跟踪误差的收敛性。 １）速度 ｕ 的有界性：根据上述分析，速度 ｕ 在控 制器 τｕ 下可实现速度跟踪，即 ｕ ＝ ｕｃ ，所以虚拟速度 控制量 ｕｃ 有界，即可保证速度 ｕ 的有界性。 根据式 （１１）得到， ｜ ｕｃ ｜ ＝｜ ｃｏｓ ψｅｃＸ － ＋ ｓｉｎ ψｅｃＹ － ｜ ≤ ｜ ｕｄ ｜ ＋｜ ｖｄ ｜ ＋ ２ ｋｐ （３２） 根据假设 １， ｜ ｕｃ ｜ ≤ ｕｍａｘ ，所以控制参数 ｋｐ 应满 足 ０ ＜ ｋｐ ≤ ｋｐｍａｘ ＝ ｕｍａｘ －｜ ｕｄ ｜ －｜ ｖｄ ｜ ２ ，保证了虚拟 速度控制量 ｕｃ 的有界性，同时也验证了假设条件 ２。 ２）速度 ｒ 的有界性：根据控制器设计，角速度 ｒ 在控制器 τｒ 下可实现速度跟踪，即 ｒ ＝ ｒｄ ，而参考轨 迹是有界的，所以角速度 ｒ 有界。 ３）速度 ｖ 的有界性：根据 ＡＵＶ 动力学模型（２）， 速度 ｕ 、 ｒ 和扰动项 τｄ２ 均有界，所以速度 ｖ 有界。 ４）横向速度跟踪误差 ｖｅ 的收敛性：定义横向速 度误差 ｖｅ ＝ ｖ － ｖｃ 。 根据虚拟控制量航向角 ψｅｃ ＝ θ － φ ，或 ψｅｃ ＝ π ＋ θ － φ 可知： ｔａｎ ψｅｃ ＝ Ｙ － ｕ － Ｘ － ｖ Ｘ － ｕ ＋ Ｙ － ｖ （３３） 进一步整理，得 ｖ ＝ ｖｃ ＋ Τｕ ｕｅ （３４） 式中： Τｕ ＝ ｃｏｓ ψｅｃＹ － － ｓｉｎ ψｅｃＸ － ｃｏｓ ψｅｃＸ － ＋ ｓｉｎ ψｅｃＹ － 。 所以要保证横向速 度误差 ｖｅ 收敛，主要验证 Τｕ 是否有界。 而根据非线 性理论， Τｕ 的有界性可根据两点保证：１） Τｕ ｕｅ 有 界；２）当 ｕｅ ＝ ０ 时， Τｕ ｕｅ ＝ ０。 第一点可由 ｖ 和 ｖｃ 有 界，根据式（３４） 保证 Τｕ ｕｅ 有界；针对第二点，已知 ｕｅ ＝０ 和 ｅψ ＝ ０，则式（８）等于零，即横向速度 ｖ ＝ ｖｃ ， 再结合式（３４）可知， Τｕ ｕｅ ＝ ０。 综上所述， Τｕ 有界， ｖｅ ＝Τｕ ｕｅ 保证了横向速度误差的收敛性。 最后，验证位置跟踪误差的收敛性。 针对外环 控制系统，我们假设速度控制环已完成很好跟踪效 果，即 ｕ ＝ ｕｃ ， ｖ ＝ ｖｃ 和 ｒ ＝ ｒｄ ，且 ｅψ ＝ ０，即 ψｅ ＝ ψｅｃ 。 根据位置误差定义 ｘ · ｅ ＝ ｘ · － ｘ · ｄ ＝ ｕｃｏｓ ψ － ｖｓｉｎ ψ － ｕｄ ｃｏｓ ψｄ ＋ ｖｄ ｓｉｎ ψｄ ＝ （ｃｏｓ ψｅＸ － ＋ ｓｉｎ ψｅＹ － ）ｃｏｓ ψ － （ － ｓｉｎ ψｅＸ － ＋ ｃｏｓ ψｅＹ － ）ｓｉｎ ψ － ｕｄ ｃｏｓ ψｄ ＋ ｖｄ ｓｉｎ ψｄ ＝ － ｋｐ ｔａｎｈ（ｋ － ｐ ｘｅ） ｙｅ ＝ ｙ · － ｙ · ｄ ＝ ｕｓｉｎ ψ ＋ ｖｃｏｓ ψ － ｕｄ ｓｉｎ ψｄ － ｖｄ ｃｏｓ ψｄ ＝ （ｃｏｓ ψｅＸ － ＋ ｓｉｎ ψｅＹ － ）ｓｉｎ ψ ＋ （ － ｓｉｎ ψｅＸ － ＋ ｃｏｓ ψｅＹ － ）ｃｏｓ ψ － ｕｄ ｓｉｎ ψｄ － ｖｄ ｃｏｓ ψｄ ＝ － ｋｐ ｔａｎｈ（ｋ － ｐ ｙｅ） 所以，位置跟踪控制误差 ｘｅ 和 ｙｅ 均收敛到零。 而航向跟踪误差 ψｅ ＝ ∫ｒｅ ，根据滑模面 Ｓ２ 的设计，可 以保证收敛到零，同时 ψｅｃ ＝ ψｅ － ｅψ 也收敛到零。 再 结合式（１１），可知虚拟速度量 ｕｃ 和 ｖｃ 分别收敛到 ｕｄ 和 ｖｄ 。 综上所述，本文给出了完整且严谨的轨迹跟 ·２０４· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷