设有一刚体,质量为M,二轴通过质心C,z轴与〓轴平行且相距为d,取x、y 轴如图124所示。现研究刚体对z轴和z′轴的转动惯量之间的关系 刚体内任一点M的质量m,它距z轴和z’轴的距离分别为n和r。由转动惯量 的定义,刚体对于z轴的转动惯量可表示为 ∑m[x2+(x-)] ∑m[ 整理得 J2=∑m(x2+y)-2∑my+∑md2 上式中 ∑m(x+y2)=Jc2md2=M2 据质心坐标公式 ∑m另=My 因yc=0,故∑my1=0 把上述这些项代入J,中得 J=Jc+Md 图12-4 证毕 表12-1给出了一些常见均质刚体的转动惯量和回转半径的计算公式,以备查用。 例12-1一摆由一均质杆及一均质圆球刚连而成如图12-5所示。均质杆质量为 m,圆球质量为m2,半径为r。试计算摆对于通过O点并垂直于杆的轴的转动惯量。 解以J1和J分别表示杆与球对于〓轴转动惯量,则摆对于z轴的转动惯量为 两者之和,即 J2=J21+J2 m2+m2(+r) 于是 J=-m1 m,r+m 图3 设有一刚体，质量为 M，z 轴通过质心 C， z′ 轴与 z 轴平行且相距为 d，取 x、y 轴如图 12-4 所示。现研究刚体对 z 轴和 z′ 轴的转动惯量之间的关系。 刚体内任一点 Mi 的质量 mi，它距 z 轴和 z′ 轴的距离分别为 ri 和 ir′ 。由转动惯量 的定义，刚体对于 z′ 轴的转动惯量可表示为 ( ) 2 2 2 22 2 2 z i ii i ii i i J mr mx y d m x y yd d ′ i = ′ = +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = +− + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ 整理得 ′ = ∑ ( + )− ∑ + ∑ 2 2 2 J z mi xi yi 2d mi yi mid 上式中 ( ) 22 2 2 ∑ ∑ m x y J m d Md i i i zC i += = 据质心坐标公式 ∑my My ii C = 因 yC = 0，故 ∑ = 0 i i m y 把上述这些项代入 z J ′ 中得 2 z zC J J Md ′ = + 证毕。 表 12-1 给出了一些常见均质刚体的转动惯量和回转半径的计算公式，以备查用。 例 12-1 一摆由一均质杆及一均质圆球刚连而成如图 12-5 所示。均质杆质量为 m1，圆球质量为 m2，半径为 r。试计算摆对于通过 O 点并垂直于杆的 z 轴的转动惯量。 解 以 Jz1 和 Jz2 分别表示杆与球对于 z 轴转动惯量，则摆对于 z 轴的转动惯量为 两者之和，即 z z1 z2 J = J + J 2 1 1 3 1 J m l z = 而 ( )2 2 2 2 2 22 2 1 5 z C J J md mr m r =+ = + + 于是 ( )2 2 2 2 2 1 1 5 2 3 1 J m l m r m r z = + + + ir′ C y z d ri Mi zi yi xi O′ z′ ( y′ ) x′ O x 图 12-4 A O r z y x l 图 12-5