《高等数学》上册教案 第三章中伯定理与导数的应用 k=0,士1，+2，：但在任意有限区间上，这样的驻点只有有限个，而x≠(2k+1)z时，均有 fx)>0,故函数fx)=x-cosx在区间(0，+0)内仍然是单调增加的。 ④利用对单调性的判别，还可以证明某些不等式。 例3.求函数/x)=(x-2}(x+1的单调区间. 解：(1)定义域为：（←0，+0）， (2)求驻点以及导数不存在的点 /e)=2-26e+%+-2yc1j.242X-》 3x+) 鞋成为x=2,子不可学点x=1: (3)列表 (-0,-1)-1(-L,)（日，2） 2(2,+0) f'(x) + + 例4.证明不等式：nl+>arctanx(女>0)。 1+x 证：设f(x)=(+x)lnl+x)-arctanx,则 f=h++1-1+7=+0++>06>0) 即函数fx)在区间(0，+o)上单调增加：又f0)=0,故对于x>0,有f(x)>f0)=0,即 >0,送释>0叶，0+l+动-x>0,单：0+>0小 注：注意仅仅有f(x)>0,推不出fx)>0,必须验证一个端点。 例5.证明当0<x<号时，tanx+snx>2x。 证：设f(x)=tanx+sinx-2x,f'(x)=sec2x+cosx-2,令：g(x)-f'(x),则 g)-/=2om-=血o3,>0，表明g0单朝增加，且 2 g0)=f0)=sec20+cos0-2=0,故0<x<5时，g>g0)=0: 即(x)>0,又表明fx)单调增加，且f0)=0,故>x>0时，fx)>f0)=0,即证得： 第16页一共32页 泰永安