《高等数学》上册教案 第三章中伯定理与导数的应用 tanx+sinx-2x>0,或tanx+sinx>2x。 例6.若f)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且满足f(x)>0,及 f(a·fb)<0,证明方程f(x)=0在(a,b)内有唯一实根。 证：根据闭区间上连续函数的介质定理，5∈(a,b),使f(5)=0,x=5是方程fx)=0的根： 假设f(x)=0在(a,b)内有两个根35,5∈(a,b),且5<5，则在区间[5,5]上f(x)满足 罗尔定理的条件，故5∈(5,5)c(a,b),使得f'()=0,与f'(x)>0矛盾。 利用这一结论，证明sinx=x有唯一实根：fx)=x-sinx在[-l,山上可导，且 f(-1)=-f),即f(-)f)<0,(x)=1+cosx>0,即f(x)在(-1，l)上单调递增，故fx)=0 即方程six=x在1，)内有唯一实根。 注：如果连续函数fx)单调，且f(x)=0有实根，则必是唯一的实根。 §5、函数的极值 一，极值的定义与判别定理 定义、设函数x)在x,的某邻域U(k)有定义，r∈U(民)， 若总有fx)>fx),称fx)为函数的极小值，。极小值点： 若总有fx)<fx),称f。)为函数的极大值，x极大值点： 注：(1)极大、极小值统称为极值： (2)极值是局部的概念，对于同一个函数而言，极大值不一定大于极小 值。如图 定理1、（极值存在的必要条件）若函数y=x)在点x,可导，并且取得极值，则f"(x)=0。 证：不妨设y=f)在点x,取得极大值，由定义存在U(民)，在此邻城内，fx)<fx,)即 网-心0，的y在气可来净银考小，豆 e)f%小=m飞so ，x-0 =)=▣0 0x-x0 而可得f)=f()=),所以f)=0。 注：①∫(x)=0是可导函数fx)取得极值的必要条件： ②在函数可导的条件下，导数不等于零的点一定不是极值点：即此时极值点一定产生于驻点。 第17页一共32页 泰条安