dv-ta-dx 于是所求旋转体的体积为： eva-x v- 同理可得：由曲线x=(y)、直线y=c、y=d(c<d)与y轴所围成的曲边梯形， 绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为：V=∫厂π[0(x小dy 例8计算由摆线x=a1-sin),y=al-cos)的一拱，直线y=0所围成的图形分 别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。 解所述图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为： 2a x=2月 Vy(x)dx=a(1-costYa(l-cost)dt 数=f) 2 za[(1-3cost+3cos'1-cos')dt=5x'a 所述图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为： V,=[x(y)dy-[x(y)dy=n["a(t-sint).asintdt -a'(t-sint)'.asintdt=-za[(t-sint)sintdy=6r'a 2.平行截面面积为已知的立体的体积（截面法） (1)问题分析：由旋转体体积的计算 x 过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一 定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体 0 积也可以用定积分来计算. 取定轴为x轴，且设该立体在过点 x=a,x=b且垂直于x轴的两个平面之内，以A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积 17 2 2 2 2 d ( )d b V a x x a  = − ， 于是所求旋转体的体积为： 2 2 2 2 ( )d a a b V a x x a  − = −  2 3 2 2 [ ] 3 a a b x a x a = −  − 4 2 3 = ab ． 同理可得：由曲线 x y = ( ) 、直线 y c = 、 y d = ( ) c d  与 y 轴所围成的曲边梯形， 绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为：   2 ( ) d d c V x y =    ． 例 8 计算由摆线 x a t t = − ( sin )， y a t = − (1 cos ) 的一拱，直线 y = 0 所围成的图形分 别绕 x 轴、 y 轴旋转而成的旋转体的体积． 解 所述图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为： 2 2 2 2 2 0 0 ( )d (1 cos ) (1 cos )d a V y x x a t a t t x   = = − −     2 3 2 3 2 3 0 a t t t t a (1 3cos 3cos cos )d 5  = − + − =    ． 所述图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积为： 2 2 2 2 2 1 0 0 ( )d ( )d a a V x y y x y y y = −      2 2 2 a t t a t t ( sin ) sin d   = −    2 2 0 a t t a t t ( sin ) sin d  − −    2 3 2 3 3 0 a t t t y a ( sin ) sin d 6  = − − =    ． 2．平行截面面积为已知的立体的体积(截面法) （1）问题分析：由旋转体体积的计算 过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一 定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体 积也可以用定积分来计算． 取定轴为 x 轴，且设该立体在过点 x = a，x = b 且垂直于 x 轴的两个平面之内，以 A(x) 表示过点 x 且垂直于 x 轴的截面面积．