二、体积 1.旋转体的体积 (1)旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线 称为旋转轴。 (2)计算由曲线y=f(x)直线x=a,x=b v=fix) 及x轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而生成的 立体的体积。 (3)取x为积分变量，则xe[ab],对于区间[a,b]上 的任一区间[x,x+dx],它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近 似等于以fx)为底半径，dx为高的圆柱体体积.即：体积元素为：dV=π[f(x)dx。 于是所求的旋转体的体积为：V=x[fx)]dx。 (4)例题讲解 例6连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将 它绕x轴旋转一周构成一个低半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积。 解：如图：取x为积分变量，则x∈0， v-f(ids-fds 間r% 例7计算由箱圆兰+ 。+方=1所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积 解这个旋转体可看作是由上半个储圆y一名厅一子及x转所围成的图形绕x轴装 转所生成的立体.取[x,x+dxc[-a,a,从而所求体积元素为： 6 6 二、体积 1．旋转体的体积 （1）旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线 称为旋转轴． （2）计算由曲线 y f x = ( ) 直线 x a = ， x b = 及 x 轴所围成的曲边梯形，绕 x 轴旋转一周而生成的 立体的体积． （3）取 x 为积分变量，则 x [a,b] ，对于区间 [a,b] 上 的任一区间 [ , d ] x x x + ，它所对应的窄曲边梯形绕 x 轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近 似等于以 f (x) 为底半径，d x 为高的圆柱体体积．即：体积元素为：   2 d ( ) d V f x x =  ． 于是所求的旋转体的体积为：   2 ( ) d b a V f x x =   ． （4）例题讲解 例 6 连接坐标原点 O 及点 P h r ( , ) 的直线、直线 x h = 及 x 轴围成一个直角三角形．将 它绕 x 轴旋转一周构成一个低半径为 r 、高为 h 的圆锥体．计算这圆锥体的体积． 解：如图：取 x 为积分变量，则 x [0, h] 2 0 d h r V x x h    =      2 2 2 0 d r h x x h  =  2 3 2 2 0 3 3 h r x r h h     = =     ． 例 7 计算由椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = 所围成的图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积． 解 这个旋转体可看作是由上半个椭圆 2 2 a x a b y = − 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋 转所生成的立体． 取  +  − [ , d ] [ , ] x x x a a ，从而所求体积元素为：