高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 (2)零向量的方向可以是任意，但规定一切零向量都相等。 向径：在直角坐标系中，坐标原点0为始点，M为终点的向量OM,称为点M对点0的向径， 由粗体字r表示。 在实际问题中，有的向量与始点无关（比如指南针），而有的与始点有关（比如点的 运动速度)。而我们现在只考虑前一种，即与始点无关的向量，并称为自由向量，简称向量。 相等向量：由于我们不考虑始点的所在位置，因而规定，两个方向相同，长度一样的向量a 或b称为相等向量，或a和b相等，记为a=b。又说：如果两个向量经过平行移动后能够完 全重合，就称为两个向量相等。 两向量平行：若向量a,b,长度相等，方向相反，就称为它们互为负向量，用a=-b或者 b=-a表示；若a,b方向相同或者相反，则称a,b为平行向量，记为a/b。 两向量共线：当两个向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上，因此 两向量平行，又称两向量共线。 两向量共面：设有k（k≥3)个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k个终点和公 共起点在平面上，就称这k个向量共面。 二、向量的线性运算 1、向量的加减法 向量的加法：设已知向量ā，b,以任意点0为始点（一般讲，任意二向量未必同始点， 但是利用自由向量的特点可以做到同一始点)，且分别以A,B为终点，ā=OA,b=OB, 再以0A,OB为边作平行四边形0ACB,对角线的向量OC=c,这就是a,b之和，记做ā+b=C (如图3) 图3 由ā，b求石+b的过程叫做向量的加法，上述利用平行四边形的对角线上向量来规定 两向量之和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。若两个向量ā，b在同一直线上（或者 平行)，则他们的和规定为： (1)若石，b同向，其和向量的方向就是ā，b的共同方向，其模为ā的模和b的 模之和。 (2)若ā，b反向，其和向量的方向为ā，b中较长的向量的方向，其模为ā，b中 较大的模与较小的模之差。 2