同样可以计算 5-102 502 6-1 D1=03 =10,D2= 15 00-10 10 10 326 32-16 000 20-10 所以 D D D 注意1.克莱姆法则的条件:n个未知数,n个方程,且D≠0 a1x1+a12x2+…a1nxn=0 a21x1+a2x2+…a2nxn=0 anx1+an2x2+…amxn=0 称为n元齐次线性方程组。 当(1)的常数项不全为零时,(1)称为n元非齐次线性方程组。 显然当x1=0=12,)是(3)的解 推论若(3)的系数行列式D≠0,则它只有零解。即若(3)有非零解, 则必有D=0。 3.克莱姆法则的关键是行列式的计算,加强之 例2证明范德蒙行列式 IIl -x) 其中,记号“∏”表示全体同类因子的乘积。 用归纳法,因为D xx-x=∏[r 2-x 所以,当n=2时,(4)式成立,现设(4)式对n-1时成立,要证对n时也 成立。为此,设法把D降阶;从第n行开始,后行减去前行的x1倍,有同样可以计算 10 0 0 1 0 0 3 1 1 6 2 1 2 5 1 0 2 1 = − − − − − − − D = ， 15 2 0 1 0 4 0 1 2 3 6 1 2 1 5 0 2 2 = − − − − − − − D = ， 20 2 0 0 0 4 3 0 1 3 2 6 2 1 1 5 2 3 = − − − − D = ， 25 2 0 1 0 4 3 1 0 3 2 1 6 1 1 0 5 4 = − − − − − − D = 所以 2 1 1 = = D D x ， 3 2 2 = = − D D x ， 4 3 3 = = D D x ， 5 4 4 = = − D D x 注意 1. 克莱姆法则的条件：n 个未知数，n 个方程，且 D  0 2.        + + = + + = + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x      （3） 称为 n 元齐次线性方程组。 当（1）的常数项不全为零时，（1）称为 n 元非齐次线性方程组。 显然当 x = 0(i =1,2,...) i 是（3）的解。 推论 若（3）的系数行列式 D  0 ，则它只有零解。即若（3）有非零解， 则必有 D = 0。 3. 克莱姆法则的关键是行列式的计算，加强之。 例 2 证明范德蒙行列式 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 − − − = n n n n n n n x x x x x x x x x D         ( )    = − n i j 1 i j x x （4） 其中，记号“ ”表示全体同类因子的乘积。 证： 用归纳法 ，因为 = = 2 − 1 = 1 2 2 1 1 x x x x D ( )    − 2 i j 1 i j x x 所以，当 n=2 时，（4）式成立，现设（4）式对 n-1 时成立，要证对 n 时也 成立。为此，设法把 Dn 降阶；从第 n 行开始，后行减去前行的 1 x 倍，有