高等数学教案 第二章导数与微分 s-50_f(t)-f(to) t-to 1-to 这个比值可认为是动点在时间间隔-o内的平均速度.如果时间间隔选较短，这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻的速度.但这样做是不精确的，更确地应当这样：令t-o→0，取 比值⊙-@的极限，如果这个极限存在，设为y,即 t-to v=lim- f(t)-f(to) i→ot-t0 这时就把这个极限值v称为动点在时刻to的速度. 2.切线问题 设有曲线C及C上的一点M,在点M外另取C上一点N,作割线MN.当点N沿曲线C 趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线MT就称为曲线C有点M处 的切线 设曲线C就是函数y=x)的图形.现在要确定曲线在点Mxo,yo)0yo=xo)处的切线，只要 定出切线的斜率就行了.为此，在点M外另取C上一点N(x,y),于是割线MN的斜率为 tano=Y-Yo=f(x)-f(xo) x-X0 x-X0 其中p为割线MN的倾角.当点N沿曲线C趋于点M时，x→xo.如果当x→o时，上式的极限存 在，设为飞，即 k=lim f()-f(xo) x→0x-X0 存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率.这里k=tan心，其中au是切线MT的 倾角.于是，通过点Mxo,xo)且以K为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线. 二、导数的定义 1.函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极 限： lim f)-f) xx0 x-X0 2