高等数学教案 第二章导数与微分 令Ar=x-x0,则Ay=fxo+△x)一xo)=fx)-xo),xxo相当于△xr0,于是1im f(x)-f()】 x→x0x-X0 成为 limA义或1imfC+A)-f2 △x→0△x △X→0 △x 定义设函数y=x)在点xo的某个邻域内有定义，当自变量x在xo处取得增量△（点xo+△x 仍在该邻域内)时，相应地函数y取得增量△y=fxo+△x)-xo);如果△y与△x之比当△x→0时的极 限存在，则称函数y=x)在点xo处可导，并称这个极限为函数y=x)在点xo处的导数，记为 yl,即 (o)=lim Av=lim2 f(x+△)-f(xo) Ar0△xAx→0 Ax 也可记为y儿x=o,衣k dy 或) dx x=xo 函数x)在点xo处可导有时也说成x)在点x0具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式，常见的有 f(xo)=lim-f(xo) h-0 f(xo)=lim f(x)-f(xo) x->X0 x-X0 在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函 数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限1imf+A-f不存在，就说函数在点o处不可导. Ax->0 △x 如果不可导的原因是由于1imo+A)-f）=0, △x 也往往说函数y=x)在点xo处的导数为无穷大. 如果函数y=x)在开区间I内的每点处都可导，就称函数x)在开区间I内可导，这时，对 于任一x∈L,都对应着x)的一个确定的导数值.这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做 原来函数的导函数、记作上，，杂、或巴. dx