会9会9 Ja(y,v) 特别地，若方程组二以确定的隐函数（即反函数）为u=化以P=》,则 du=1 dx dy 1 dox dy Jov Jm 种-20.由可验01 这里并不是要求读者记忆这些公式，而是要掌握推导它们的方法，即由方程组两边对自 变量求偏导数的方法· (五)方向导数与梯度 1.方向导数 (I)设：=fx)在P)的某个邻域内有定义，方向向量1={cos,cos,若极 g+posah+pos)-f,2 0 存在，则称该极限为通数门在点月处酒1方向的方向号数。记为乱 (2)设：=fx,)在(x)处可微，则fx)在P处沿任何方向1={cosa,c0sB的 方向导数都存在，且乳 =f(xYo)cosa+f(x)cosB. (3)偏导数给出了函数沿坐标轴方向的变化率，而方向导数则可刻画函数沿不同方向 的变化率，因此其在实际问愿中有重要的应用。 (4)对三元函数u=x,y,)类似地亦可定义相应的方向导数。 2.梯度 设二元高数：=刀在点化列存在一价连续偏号数，则称向最n了一甚}为 ∫x,)在点(x,)的梯度.同样地，对可求偏导的三元函数u=∫x,y,),其梯度为 ndr-甚哥 1 ( , ) ( , ) u F G x J x v   = −   ， 1 ( , ) ( , ) v F G x J u x   = −   ， 1 ( , ) ( , ) u F G y J y v   = −   ， 1 ( , ) ( , ) v F G y J u y   = −   ． 特别地，若方程组 ( , ) ( , ) x x u v y y u v  =   = 确定的隐函数（即反函数）为 u u x y v v x y = = ( , ), ( , ) ，则 u y 1 x J v   =   ， v y 1 x J u   = −   ， u x 1 y J v   = −   ， v x 1 y J u   =   ， 其中 ( , ) 0 ( , ) x y J u v  =   ．由此可验证 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) x y u v u v x y    =   ． 这里并不是要求读者记忆这些公式，而是要掌握推导它们的方法，即由方程组两边对自 变量求偏导数的方法 ． （五）方向导数与梯度 1．方向导数 （1）设 z f x y = ( , ) 在 0 0 0 P x y ( , ) 的某个邻域内有定义，方向向量 l ={cos ,cos }   ，若极 限 0 0 0 0 0 ( cos , cos ) ( , ) lim f x y f x y       → + + + − 存在，则称该极限为函数 f x y ( , ) 在点 P0 处沿 l 方向的方向导数，记为 P0 f l   ． （2）设 z f x y = ( , ) 在 0 0 0 P x y ( , ) 处可微，则 f x y ( , ) 在 P0 处沿任何方向 l ={cos ,cos }   的 方向导数都存在，且 0 0 0 0 0 ( , )cos ( , )cos x y P f f x y f x y l    = +    ． （3）偏导数给出了函数沿坐标轴方向的变化率，而方向导数则可刻画函数沿不同方向 的变化率，因此其在实际问题中有重要的应用． （4）对三元函数 u f x y z = ( , , ) 类似地亦可定义相应的方向导数． 2．梯度 设二元函数 z f x y = ( , ) 在点 ( , ) x y 存在一阶连续偏导数，则称向量 , f f f = x y           grad 为 f x y ( , ) 在点 ( , ) x y 的梯度．同样地，对可求偏导的三元函数 u f x y z = ( , , ) ，其梯度为 , , fff f = x y z           grad ．