水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-627010558237805地址:清华同方科技广场B座609室 Rn(x)称为n阶泰勒余项(具有拉格朗日形式的余项)。 x0=0时的泰勒公式叫做麦克劳林公式,即 f"(0) f(x)=f(0)+f(0)x+-2 其中在0与x之间。 具有皮亚诺余项形式的泰勒公式为(此时,只要求函数f(x)在区间(a,b)内具有n阶导数)为 f(x)=f(x)+f(x0x-'(x) X-x X-x 其中o(x")为x"的高阶无穷小量,要求f(x)具有n阶导数。这是不同于拉格朗日余项形的n阶泰勒公 之处。 读者应该熟悉五类基本初等函数在x=0处的n阶泰勒公式(5在0与x之间) (1)e2=1+x+x2+…+x”+Rn(x),其中Rn(x)= x∈(-∞,+c +1 p) (2)sinx=x-x3+x3-…+(-1 (2-)2+B2m(x), 其中R2n1(x)=sin(5+nn)x2,x∈(-∞,+∞) (2m) x-…+(-1) 其中R2n(x)= x∈(-0,+0 (2n+1) (4)(1+x)=1+an+a-1) 3+E2n(x), a(a-1)…(a-n+1 +r, (x) 其中R(x)=2(=D)(a-m) (1+5)2-nx x∈(-1,+∞),a∈(-∞,+∞) (n+1)! (5)ln(1+x)=x-x2+x3-…+(-1)“-x"+Rn(x) 其中R(x)=(-1) x∈(-1,+∞) (n+1)(1+5) 9.无穷小量比阶 设a(x)与B(x)为某种趋向x→()时的无穷小量,若满足加D<(3)P x-0)B(x) 则(1)当H≠0时,称a(x)与B(x)为同阶无穷小量(x→()),特别=1时,称a(x)与(x) 等价无穷小量(x→(),可记为a(x)~B(x)。水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 16 称为 阶泰勒余项(具有拉格朗日形式的余项)。 时的泰勒公式叫做麦克劳林公式，即 n xR )( n x0 = 0 1 )( )1( 2 )!1( )( ! )0( !2 )0( )0()0()( + + + ++ + ′′ += ′ + n n n n x n f x n f x f xffxf ξ L 其中ξ 在 与0 x 之间。 具有皮亚诺余项形式的泰勒公式为(此时, 只要求函数 在区间 内具有 阶导数)为: xf )( ba ),( n ))(()( ! )( )( !2 )( ))(()()( 0 0 0 )( 2 0 0 0 0 0 n n n xxoxx n xf xx xf xxxfxfxf ++− −+− ′′ += ′ +− L 其中 为 的高阶无穷小量，要求 具有 阶导数。这是不同于拉格朗日余项形的 阶泰勒公 式之处。 )( n xo n x xf )( n n 读者应该熟悉五类基本初等函数在 x = 0处的 阶泰勒公式( n ξ 在 0 与 x 之间) (1) ),( , )!1( 1 )( 1 +∞−∞∈ + = + xxe n xR n n ξ )( ! 1 !2 1 1 2 xRx n xxe n x n = L +++++ ，其中 。 (2) )( )!12( 1 )1( !5 1 !3 1 sin 12 53 1 12 xRx n xxxx n n n − − − + − L −+−+−= ， 其中 ),( ,)sin( )!2( 1 )( 2 −12 = + xxn +∞−∞∈ n xR n n πξ 。 (3) )( )!2( 1 )1( !4 1 !2 1 1cos 2 2 4 2 xRx n xxx n n n L −+−+−= + ， 其中 ),( ,) 2 12 cos( )!12( 1 )( 12 2 +∞−∞∈ + + + = + xx n n xR n n πξ 。 (4) )( ! )1()1( !2 )1( 1)1( 2 xRx n n xx x n n + − − + ++ − ++=+ α α α α α α α L L ， 其中 ),(),,1( ,)1( )!1( )()1( )( 11 + +∞−∞∈+∞−∈ + −− = +−− ξ α α α α α xx n n xR nn n L 。 (5) )( 1 )1( 3 1 2 1 )1ln( 2 3 1 xRx n xxxx n n n +⋅−+−+−=+ L − ， 其中 ),1( , )1)(1( 1 )1()( 1 +∞−∈ ++ −= + x n xR n n n ξ 9．无穷小量比阶 设 为某种趋向 时的无穷小量，若满足 x ⋅→ )( μ β α = ⋅→ )( )( lim )( x x x α x)( 与 β x)( 则 (1) 当 μ ≠ 0 时，称α x)( 与 β x)( 为同阶无穷小量（ x → ⋅)( ），特别 μ = 1 时，称α x)( 与 β x)( 为 等价无穷小量（ x → (⋅) ），可记为α(x) β x)(~