§1.5微分算子V ★同一般的矢量比较,V算子具有微分、矢量两重特性 ◆V算子的大小:1(量纲) ◆算子的方向:纵向 te V·f afrafr afr fy afr Vp §1.6V算子矢量、微分特性的推论 a(y)=(av)→V(yv)=φ(Vv)+(V) a×(和b)=k(a×b)→V×(和b)=k(V×b)+Vk×b (kb)=k(a·b)→V·(kb)=k(V·b+Vk·b a·(a×c)=0→V·(V×c)=0 例一 【求解】 V×(f×g) 【解】 V(f·g)=V(·g-)+V(fg) (geV)∫+(f×V)xge+(V·fe)g+(g×V)×f =(geV)∫+g×(V×f)+(fV)g+f×(V×g) =(gV)∫+(fV)g+g×(V×f)+f×(V×g) g (·g)f-(V·∫g+(Vg)f-(V·f)g 7)f-gc(V·f)+fe(V·g)-(fV) V)∮-(f·V)g+f(V§ 1.5 微分算子∇ ★同一般的矢量比较，∇算子具有微分、矢量两重特性。 ◆∇算子的大小：1 r（量纲） ◆∇算子的方向：纵向 ∇ = ex · ∂ ∂x + ey · ∂ ∂y + ez · ∂ ∂z ∇ · f = ∂fx ∂x + ∂fx ∂y + ∂fx ∂z ∇ × f = (∂fz ∂y − ∂fy ∂z ) · ex + (∂fx ∂z − ∂fz ∂x ) · ey + (∂fy ∂x − ∂fx ∂y ) · ez ∇ϕ = ∂ϕ ∂x · ex + ∂ϕ ∂y · ey + ∂ϕ ∂z · ez § 1.6 ∇算子矢量、微分特性的推论 a (ϕψ) = ϕ (aψ) ⇒ ∇ (ϕψ) = ϕ (∇ψ) + ψ (∇ϕ) a × (kb) = k (a × b) ⇒ ∇ × (kb) = k (∇ × b) + ∇k × b a · (kb) = k (a · b) ⇒ ∇ · (kb) = k (∇ · b) + ∇k · b a · (a × c) = 0 ⇒ ∇ · (∇ × c) = 0 a × (ka) = 0 ⇒ ∇ × (∇k) = 0 例一 【求解】 ∇ (f · g) , ∇ × (f × g) , ∇ · (f × g) 【解】 ∇ (f · g) = ∇ (f · gc) + ∇ (fc · g) → (gc · ∇) f + (f × ∇) × gc + (∇ · fc) g + (g × ∇) × fc = (gc · ∇) f + gc × (∇ × f) + (fc · ∇) g + fc × (∇ × g) = (g · ∇) f + (f · ∇) g + g × (∇ × f) + f × (∇ × g) ∇ × (f × g) = ∇ × (f × gc) + ∇ × (fc × g) → (∇ · gc) f − (∇ · f) gc + (∇ · g) fc − (∇ · fc) g = (gc · ∇) f − gc (∇ · f) + fc (∇ · g) − (fc · ∇) g = (g · ∇) f − (f · ∇) g + f (∇ · g) − g (∇ · f) 3