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第2期 谢锡麟:基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究 换算子,由此掌握置换算子的基本运算性质十分有助于研习现代几何学10及其力学、物理上的应用10:1 6.2仿射量的基本性质 郭仲衡著《张量(理论与应用)》中独树一帜地基于外积运算研究仿射量的各种性质,特别包括仿射量 的特征问题,涉及仿射量的行列式、特征多项式主变量的显式表示等。 按特征多项式的一般表示:对Rm中的任意二个基{u;}m=1,{;}m=1 [(Φ-λI)·t1]∧…∧[(φ-λ)·tn](1,…,m) 1A…Atm(U1,……,Um) =det(Φ-λD):=(-λ)m+…+I(-4)m+ 仿射量的第r个主不变量有表达式1,(中)=的:…;。按此关系式可得1,()= f(1()……,1,(),式中1,(Φ):=tr(φ)为φ的j阶矩,有m(φ)=师”,*表示转置。由此可 af r dI 有:()=a1+…++…’d,亦即可以程序性获得主不变量对仿射量的导 对于特征值,考虑R3情形(高维情况可作类似处理),则有 )=x12+1k3+入2A3|。按逆映照定理,局部可有:A,(中)=A,(l1(中),12(), (①),由此,按微分学有:()=∑。(1(),12(),1()·(中),=1,2,3,按逆映照定 理式中[x](122,)= al. 7- λ; (A1,A2,A3) 上述基于外积运算定义并分析彷射量特征问题的思想及方法可以推广至曲面上的彷射量,有助于 建立几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 7总结与展望 我们希望基于郭仲衡先生有关现代张量分析及有限变形理论知识体系构建并发展“理性力学观点下 的基于现代张量分析以及现代几何学的连续介质力学一般理论”;并将一般理论应用于涡量与涡动力学以 及生物力学的某些方面,致力于发展相应的研究思想及方法以期深入对相关问题的认识 自2005年持续至今的学习、研究与教学上的努力,作者在复旦大学已逐步建设有二条教学路径:① 微积分的一流化进程”①。主要包括一年制《数学分析》,选修课程《经典力学数学名著选讲(有关微积分 的深化)》,《流形上的微积分》,《应用实变函数与泛函分析基础》。②“基于现代张量分析的连续介质力学 理论及其在流体力学中实践”②。主要包括选修课程《张量分析与微分几何基础》,《连续介质力学基础》, 《涡量与涡动力学基础》。第一条教学路径主要提供了有限维 Euclid空间上微积分以及一般赋范线性空 间上微积分的知识体系,为第二条教学路径的开展提供了充实的数学基础。 后续《张量分析与微分几何基础》(每周3学时,共54学时),计划按下述体系构建讲述内容:①张量的 基本代数性质(I)。将张量定义为有限维 Euclid空间中的多重线性映照,涉及协变、逆变基(对偶基),简 单张量及张量表示,张量并积,张量多点点积。②有限维 Euclid空间中一般曲线坐标系上的张量场分析。 基于有限维 Euclid空间以及张量赋范线性空间上的微分学(引述一般赋范线性空间上微分学的相关理 论),基于微分同胚定义曲线坐标系,曲线坐标诱导之局部基及其运动方程(引人 Christoffel符号);基于张 ①建设有课程体系网站htp://jpkc. fudan.edu.cn/s/354/ ②建设有课程体系网站http://ipke.fudanedu.cn/s/353/&4"Xblø&4<6iÏ`jxsÌ7©^<5'(%$)Ú&''Ü,á<T5(%$"%%)% QIB _Æn*+Fé »gGº:}ç!,1ST5$;q{
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