348 力学季刊 第34卷 a2(x,t)+U·口(nu)= (a⑧8u)·日-[(pD·口+日,(Qp)]+Re△(②x)湍流扩散+分子扩散 -[n②i.(口8U)+(U⑧口).②u-2au⑧.(②a)生成+耗散 p(⑧口+口u) 压力这形 瞬时速度的时均分解为V=U+;U,w分别表示平均及脉动速度。就此,结合非完整基理论,易于获得 般非完整的单位正交系下的分量方程 按我们的认识及实践,利用非完整基理论获得简单典型问题的有限变形弹性静力学以及动力学控制 方程[并且做解析求解(常适用半逆解法)较直接利用完整系更显清晰和简洁。一般连续介质力学的教程 或者专著会阐述对应单点形式的非完整基理论[2,但我们尚未见对应多点形式的非完整基理论。 6基于外积运算的相关理论 6.1置换算子基本性质 郭仲衡著《张量(理论与应用)》中系统引入了外积运算。外积运算的基础是反对称化算子,而反对称 化算子的基础则是置换算子。对此,我们归纳置换算子的基本性质如下。 ①A4iA2A,n=AoA21)…Aay),Va∈P ②{(1,l2…,ip)|i1,i2……,ip=1,m}={(a(i1),a(i2),…,o(in))Ⅴi,i2…,in=1,…,m} (o(i1),o(i2)…-(i)|i,i…,in=1,,m},Vσ∈P ③《(a(i1),d(2),…,o(ip)|V∈Pp}={(a°r(i1),o°r(z2)…,or(ip)a∈Pp} ={(r°a(i1),r°a(i2),…,ro(ip)Va∈Pp},Hr∈Pp Pp表示p阶置换的全体。上述性质均易于证明。 籍此,可以简洁明朗地推导各种外积及外微分的相关等式。 如我们考虑:更∈A(Rm),y∈∧‘(Rm)之间外积运算的交换关系 ∧y: (+8)! A(⑧y ∑sgna·l(φ⑧ r. sgnd·(1-,y1-,y②…②g·②g②…⑧y y1-92②…⑧y⑧y1②…⑧ r!8!sgn·l.(-,y1-1,y②⑧y,②yy) I(y⑧)=(-1)"y∧ 此处r 为+8阶置换,有sgnκ=(-1)";式中I∈P,,称为γ+8阶置换算子,定义 为(16)(u1,…,lr+,)=6(tn,…,tnr+,),V∈T"‘(R")。郭仲衡著《张量(理论与应用)》对此 证明涉及对自变量{1∵…,t,+,}的操作,本文证明则仅涉及对张量的操作 值得指出,微分流形上的外微分算子基于外积运算,外积运算基于反称化算子,而反称化算子基于置"!6M6$ "; !9";$=40TM!6M6$< B!6M6M6$0TB(!>6M*$0T=T0!*M>6$)= % 0> $M!6M6$ mæ4V=s44V B(6M60!TM4$=!4MT$06M6)B # 0> !6MT$0!TM6$ ¸…=oV B>!6MT=TM6$ X&„[ ‚zԈ<zÖsEv J<4=6#4"6 s3Š‹û֍k9Ԉ%0b"T¨×xŠ6,1"œ7äF …Q×xŠ<vw‘ÑÀ[<sçW0(O)% 9€<ýþgû"/5×xŠ6,1äF¬v’ƒOP<’¬Í[ç`f&'d9&'NO W0(#)RˆeEVDE!ù54UEB$Wef/5xŠÀ¤<±\"¬@%…Q+a­j&'<»0 ӫɺ'%?íTv¦[x<×xŠ6,1(#"Q)"5€y_ríTy¦[x<×xŠ6,1% Q +,¾~ëH*L4xQ QIA ¸‘H„+Fˆé »gGº:}ç!,1ST5$;qÀA9:RüÏ•%üÏ•<60Û!írŕ4"!ír ŕ4<60}ے&•4%íb"€°±’&•4<6i`jZ[% @ "3%2%"3#2# *"3> 2> <"6!3%$6!2%$"6!3#$6!2#$*"6!3>$6!2>$" P60Q> A ,!3%"3#"*"3>$2P3%"3#"*"3><%"*F-<,!6!3%$"6!3#$"*"6!3>$$2P3%"3#"*"3><%"*"F- <,!6B%!3%$"6B%!3#$"*6B%!3>$$2P3%"3#"*"3><%"*"F-"P60Q> B ,!6!3%$"6!3#$"*"6!3>$$2P60Q>-<,!6Q-!3%$"6Q-!3#$"*"6Q-!3>$$2P60Q>- <,!-Q6!3%$"-Q6!3#$"*"-Q6!3>$$2P60Q>-"P-0Q> Q> Š‹> [’&<òÝ%á?`j֜7;% fb"cd¬@;=ºQNfõüüûs<S}{x% Z€XY&P90UA !HF $">0UC !HF $~{üÏ•<Ñ&}À 9U>&<!A=C$= A=C="!9M>$< % A=C=60 $89#: KB=60*6!9M>$ < % A=C=60 $89#: KB=60*6!93%*3A >2%*2C ( 3% M*M( 3A M(6% M*M(2C $ < % A=C=60 $89#: KB=!6Q-B%$0*6Q-B% !93%*3A >2%*2C ( 3% M*M( 3A M(2% M*M(2C $ <!B%$AC A=C=60 $89#: KB=60*6!93%*3A >2%*2C (2% M*M(2C M( 3% M*M( 3A $ <!B%$AC A=C=60 $89#: KB=60*6!>M9$<!B%$AC >U9 b†-< 3%*3A 2%*2C 2%*2C 3%*3 . / 6 A7 vA=C[’&"’KB=-<!B%$AC #xq*60QA=CrvA=C[’&•4"àk v!*6D$!6%"*"6A=C$<D!66!%$"*"66!A=C$$"PD08A=C !HF $%»gGº:}ç!,1ST5$;íb ;Œí¢Íç,6%"*"6A=C-<Îu"i$;}‡Œí}ç<Îu% ;F‰"ûsæ[á<üûs•467üÏ•"üÏ•67!rŕ4"!rŕ467’ 784 & ' ( ) !!""