·54 智能系统学报 第2卷 系统处于滑动模态阶段时状态变量能够在有限时间 制不能确保x1=0、x20,奇异问题就可能发生在 内收敛至平衡点.最后利用文献[4]中提出的自适应 到达滑动模态阶段，也可能发生在到达滑动模态s= 思想，研究带有未知系统参数摄动和外界扰动等不 0后，由于计算误差和不确定项影响，系统状态不能 确定性因素上界的自适应非奇异Terminal滑模控 确保总在滑动模态，特别在平衡点(x1=0,x2=0)附 制策略 近和x1=0、?判情况下奇异问题会不时发生，因 此奇异问题在传统TSM系统下就显得非常重要 1 系统描述 2.2非奇异Terminal滑动模态(NTSM)控制 考虑如下二阶不确定非线性动态系统： 为了克服传统TSM的奇异问题已提出几种方 X1=X2 法，如在TSM和线性滑模超平面之间进行转换)， x2 f(x)+g(x)+b(x)u. (1) 另一种是将轨迹转换到提前规定的区间上，在此区 式中：x=[x1,x2严表示系统状态向量，∫(x)、 间上TSM非奇异，这些方法都是间接避免奇异问 b(x0为非线性函数，g(W代表不确定项和干扰 题.本文采用如下的NTSM方法 项，且‖g(y‖g,lg>0,u为控制输入 设NTSM滑模函数为 2非奇异Terminal滑动模态 s=x1+Bx94 (6) 2.1传统Terminal滑模(TSM)控制 式中：B、p和q的定义同式2)，可以看出当s=0时 传统的TSM滑模面取为下列Terminal滑模 式(6)相当于式(2).因此系统在滑动模态下达到平 向量： 衡点x1=0的时间和式(5)相同，而且由式(6)得到 s=2+月AP (2) 的$在动态系统中不会导致负幂次方，用下面的定 式中：>0为常数，p,q均为正奇数且满足p>q 理可以证明 存在TSM的充分条件为}<·月到，>0为 定理1对系统(1)取滑模面切换函数(6)控制 量u取为 常数.对系统1)取控制量为 u=-B'(f((sgn(s) u=-6'(xIf(x)+B4xYx2+ D (ls sgn(s)1. (3) 式中：1<pg<2,>0系统将在有限时间内到达 以确保滑动模态发生.当sO)判时，系统状态将在 NTSM,进一步讲状态量x1、x2将在有限时间内收 有限时间1，内达到滑动模态s0)=0,且满足1，≤ 敛到零 s04:当系统达到滑动模态s=0,系统动态特性 证明由()可得到 由下列非线性微分方程决定： 卫x'a=和+月x妇 §=1+B9 B g 2+P=1+tP=0. (4) 式中：x1=0为系统(4)的Terminal吸引子.设从 2+ 卫xe1(f(N+g(N+b(WW= B q x1(t)判到x1(t,+t)=0的有限时间为i,且由下 士Pxel(gN.(g+可sgn() 式给出： B g 那么 -B(p (5) s=Btx(g(Ws-l:+sgny≤ 这意味着在TSM滑模面(4)上，系统状态x1、x?在 有限时间内收敛到零 Pxf1n叫sl B q 由TSM输入控制式(3)可看出，式(3)第2项 由于p和g均为正奇数且1<pg<2,有当 包含x'x2,在1=0,20的条件下会发生奇 异问题，而这种情况不会发生在理想滑动模态，因为 判时，x1>0,让px)=Pxg1则有：当 B g 当s=0,2=-fx1P,只要q<p<2g即1<p/q<2, x2判时，ss≤-P(x2)sl,P(x2),n>0.因此当 此项xfP1x?=-月xPgP为非奇异项.当输入控 x2o时，系统满足Lyapunov稳定性原理.将输入 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net系统处于滑动模态阶段时状态变量能够在有限时间 内收敛至平衡点. 最后利用文献[ 4 ]中提出的自适应 思想 ,研究带有未知系统参数摄动和外界扰动等不 确定性因素上界的自适应非奇异 Terminal 滑模控 制策略. 1 系统描述 考虑如下二阶不确定非线性动态系统 : Ûx1 = x2 . Ûx2 = f ( x) + g ( x) + b( x) u. (1) 式中 : x = [ x1 , x2 ] T 表示系统状态向量 , f ( x) 、 b( x) ≠0为非线性函数 , g ( x) 代表不确定项和干扰 项 ,且 ‖g ( x) ‖≤l g , l g > 0 , u 为控制输入. 2 非奇异 Terminal 滑动模态 2. 1 传统 Terminal 滑模( TSM) 控制 传统的 TSM 滑模面取为下列 Terminal 滑模 向量 : s = x2 +βx q/ p 1 . (2) 式中 :β> 0 为常数 , p , q 均为正奇数且满足 p > q. 存在 TSM 的充分条件为 1 2 d dt s 2 < - η| s| ,η> 0 为 常数. 对系统(1) 取控制量为 u = - b - 1 ( x) [ f ( x) +β q p x q/ p- 1 1 x2 + ( l g +η) sgn (s) ] , (3) 以确保滑动模态发生. 当 s(0) ≠0 时 ,系统状态将在 有限时间 tr 内达到滑动模态 s (0) = 0 ,且满足 tr ≤ | s(0) | η ;当系统达到滑动模态 s = 0 ,系统动态特性 由下列非线性微分方程决定 : x2 +βx q/ p 1 = Ûx1 +βx q/ p 1 = 0. (4) 式中 : x1 = 0 为系统 ( 4) 的 Terminal 吸引子. 设从 x1 ( tr) ≠0 到 x1 ( ts + tr) = 0 的有限时间为 ts 且由下 式给出 : ts = p β( p - q) | x1 ( tr) | 1 - q/ p . (5) 这意味着在 TSM 滑模面(4) 上 ,系统状态 x1 、x2 在 有限时间内收敛到零. 由 TSM 输入控制式 (3) 可看出 ,式 (3) 第 2 项 包含 x q/ p - 1 1 x2 ,在 x1 = 0 , x2 ≠0 的条件下会发生奇 异问题 ,而这种情况不会发生在理想滑动模态 ,因为 当 s = 0 , x2 = - βx q/ p 1 ,只要 q < p < 2q 即 1 < p/ q < 2 , 此项 x q/ p - 1 1 x2 = - βx (2 q - p) / p 1 为非奇异项. 当输入控 制不能确保 x1 = 0、x2 ≠0 ,奇异问题就可能发生在 到达滑动模态阶段 ,也可能发生在到达滑动模态s = 0 后 ,由于计算误差和不确定项影响 ,系统状态不能 确保总在滑动模态 ,特别在平衡点( x1 = 0 , x2 = 0) 附 近和 x1 = 0、x2 ≠0 情况下奇异问题会不时发生 ,因 此奇异问题在传统 TSM 系统下就显得非常重要. 2. 2 非奇异 Terminal 滑动模态(N TSM) 控制 为了克服传统 TSM 的奇异问题已提出几种方 法 ,如在 TSM 和线性滑模超平面之间进行转换[5 ] , 另一种是将轨迹转换到提前规定的区间上 ,在此区 间上 TSM 非奇异 ,这些方法都是间接避免奇异问 题. 本文采用如下的 N TSM 方法. 设 N TSM 滑模函数为 s = x1 + 1 β x p/ q 2 . (6) 式中 :β、p 和 q 的定义同式(2) ,可以看出当 s = 0 时 式(6) 相当于式(2) . 因此系统在滑动模态下达到平 衡点 x1 = 0 的时间和式(5) 相同 ,而且由式 (6) 得到 的 Ûs 在动态系统中不会导致负幂次方 ,用下面的定 理可以证明. 定理 1 对系统(1) 取滑模面切换函数(6) 控制 量 u 取为 u = - b - 1 ( x) f ( x) +β q p x 2 - p/ q 2 + ( l g +η) sgn (s) . (7) 式中 :1 < p/ q < 2 ,η> 0 系统将在有限时间内到达 N TSM ,进一步讲状态量 x1 、x2 将在有限时间内收 敛到零. 证明 由(6) 可得到 Ûs = Ûx1 + 1 β p q x p/ q- 1 2 Ûx2 = x2 + 1 β p q x p/ q- 1 2 Ûx2 = x2 + 1 β p q x p/ q- 1 2 ( f ( x) + g ( x) + b( x) u) = 1 β p q x p/ q- 1 2 ( g ( x) - ( l g +η) sgn (s) ) . 那么 sÛs = 1 β p q x p/ q- 1 2 ( g ( x) s - ( l g +η) sgn (s) s) ≤ - 1 β p q x p/ q- 1 2 η| s | . 由于 p 和 q 均为正奇数且 1 < p/ q < 2 , 有当 x2 ≠0 时 , x p/ q - 1 2 > 0 ,让ρ( x2 ) = 1 β p q x p/ q - 1 2 则有 :当 x2 ≠0 时 , sÛs ≤- ρ( x2 )η| s| ,ρ( x2 ) ,η> 0. 因此当 x2 ≠0时 ,系统满足 Lyap unov 稳定性原理. 将输入 ·54 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷