第5期 姚丽萍，等：一类非线性不确定系统的非奇异Terminal滑模控制 ·55· 控制量式7)代入式1)得 方(，V=Ipx2)I·lsI, 2 =B4x+g(x(Is sgn(s) p h(,=gilp(x2)Ⅱ·s‖·lxl. 当2=0时，有 考虑Lyapunov函数为 x2 =g(x)-(I sgn(s). V=立s5+m后+m币. 当s>0时，2≤-几，当s<0时，2≥.几，系统相轨 对时间1的微分为 迹如图1示.由相轨迹可见当x2=0时，系统状态能 V=s+m六+n方=©s'(+ 在有限时间内到达滑动模态s=0,.可以看出当 1<p/q<2时NTSM控制7)不存在奇异问题 x(f(x+g(+ B q b(NW)+n方+nn方≤ s(+月&xfN+n+nlxl+ 2=0 b(x w)+gonn+qrn. 10) 选择控制输入u()为 u(v)=-b'(x)(f(x)+B4x (%+nlx‖+wsgn(s). 11) 式中：n为正常数，得 V≤p(x2)·lsl(n+nlxD- 图1系统的相轨迹 lP(x2)‖·lsl(m+nlx‖+V Fig.I The phase plot of the system sgn(y)+gm方+nh片六 将自适应律9)代入上式可得 3自适应NTSM控制器的设计 p≤nlP(x2)‖·ls‖<0.(12) 在一般的变结构控制系统中，均需已知系统不 由于‖P(x2)‖>0，>0，所以可以保证系统全局 确定性的界，并由此构造出具有继电控制项的控制 一致渐近收敛至s=0.下面讨论滑动面向量s的 律，保证系统进入滑动模态.这些界往往很难获得， 收敛率问题，根据式10)和12)可得 若控制律中的这些数据取得太大，会影响控制效率， V=s's+mm+n片≤nl知)‖· 取得太小，将不能保证滑动模态的存在.自适应控制 lls lls's+nlle(x)‖·lsⅡ 方法提供了另一种解决系统不确定性问题的有效方 或 9ng'Ipx)‖·Is‖·lxI≤ 法，可以得到已知不确定性结构的未知参数估计 -lP(x2)‖·lsl. 因此这里将结合变结构和自适应控制的各自优点， ls‖·ls‖≥op(x2)‖·lsl 并应用Terminal滑模变结构控制思想，来综合一种 或 方lPx2)‖·ls‖·lx‖+ 新型的自适应Terminal滑模控制算法7，】.此时系 nlP(x2)·lsl. 统(1)的不确定项g(xy不再满足‖g(x)‖.，即 则当s‖判时，有 不确定性的界未知，为此给出下面假设， 假设不确定性g(W满足下面的不等式： IsI≥PL·lsI±xL+2 ls‖ lgy‖≤b+nlxl. (8) 对自适应律积分得 而m、n是2个非负的未知常数，这里为了估计不 确定性g√，给出如下的简单自适应律： 元=n0,+plp()Ⅱ·lsld-n. o(t,X=g'lpx2)‖·lsl, (13) 方(，y=qi'lle(x2)‖·lsⅡ·xⅡ.例 式中：%(1，√=(1，y-n和i(1,W=n(t,W- n=n0,V+p(x)I· n是自适应参数误差，和分别为各自的正常 lsl·llx lldr-n. 14) 数自适应增益，而m(1,x和n(t,即为未知参数 则可得 心和n的自适应参数估计.由于参数b和n为常 ls‖≠0时lsIp(x2)I(%+ 数，所以式9)的自适应律也可写为 hlxl+w≥IP(x2)In (15) 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net控制量式(7) 代入式(1) 得 Ûx2 = - β q p x 2 - p/ q 2 + g ( x) - ( l g - η) sgn (s) . 当 x2 = 0 时 ,有 x2 = g ( x) - ( l g - η) sgn (s) . 当 s > 0 时 , Ûx2 ≤- η,当 s < 0 时 , Ûx2 ≥- η,系统相轨 迹如图 1 示. 由相轨迹可见当 x2 = 0 时 ,系统状态能 在有限时间内到达滑动模态 s = 0 [6 ] . 可以看出当 1 < p/ q < 2时 N TSM 控制(7) 不存在奇异问题. 图 1 系统的相轨迹 Fig. 1 The phase plot of the system 3 自适应 N TSM 控制器的设计 在一般的变结构控制系统中 ,均需已知系统不 确定性的界 ,并由此构造出具有继电控制项的控制 律 ,保证系统进入滑动模态. 这些界往往很难获得 , 若控制律中的这些数据取得太大 ,会影响控制效率 , 取得太小 ,将不能保证滑动模态的存在. 自适应控制 方法提供了另一种解决系统不确定性问题的有效方 法 ,可以得到已知不确定性结构的未知参数估计. 因此这里将结合变结构和自适应控制的各自优点 , 并应用 Terminal 滑模变结构控制思想 ,来综合一种 新型的自适应 Terminal 滑模控制算法[7 - 8 ] . 此时系 统(1) 的不确定项 g ( x) 不再满足 ‖g ( x) ‖≤l g ,即 不确定性的界未知 ,为此给出下面假设. 假设 不确定性 g ( x) 满足下面的不等式 : ‖g ( x) ‖ ≤r0 + r1 ‖x ‖. (8) 而 r0 、r1 是 2 个非负的未知常数 ,这里为了估计不 确定性 g ( x) ,给出如下的简单自适应律 : r‰ · 0 ( t , x) = q - 1 0 ‖ρ( x2 ) ‖·‖s ‖, r‰ · 1 ( t , x) = q - 1 1 ‖ρ( x2 ) ‖·‖s ‖·‖x ‖. (9) 式中 :r‰0 ( t , x) = r…0 ( t , x) - r0 和 r‰1 ( t , x) = r…1 ( t , x) - r1 是自适应参数误差 , q0 和 q1 分别为各自的正常 数自适应增益 ,而 r…0 ( t , x) 和 r…1 ( t , x) 即为未知参数 r0 和 r1 的自适应参数估计. 由于参数 r0 和 r1 为常 数 ,所以式(9) 的自适应律也可写为 r‰ · 0 ( t , x) = q - 1 0 ‖ρ( x2 ) ‖·‖s ‖, r… · 1 ( t , x) = q - 1 1 ‖ρ( x2 ) ‖·‖s ‖·‖x ‖. 考虑 Lyap unov 函数为 V = 1 2 (s TÛs + q0 r‰ 2 0 + q1 r‰ 2 1 ) . 对时间 t 的微分为 VÛ= s TÛs + q0 r‰0 r‰ · 0 + q1 r‰1 r‰ · 1 = Ý s T ( x2 + 1 β p q x p/ q- 1 2 ( f ( x) + g ( x) + b( x) u) ) + q0 r‰0 r‰ · 0 + q1 r‰1 r‰ · 1 ≤ s T ( x2 + 1 β p q x p/ q- 1 2 ( f ( x) + r0 + r1 ‖x ‖+ b( x) u) ) + q0 r‰0 r‰ · 0 + q1 r‰1 r‰ · 1 . (10) 选择控制输入 u( t) 为 u( t) = - b - 1 ( x) ( f ( x) +β q p x 2 - p/ q 2 + ( r…0 + r…1 ‖x ‖+η) sgn (s) ) . (11) 式中 :η为正常数 ,得 VÛ≤ ‖ρ( x2 ) ‖·‖s ‖( r0 + r1 ‖x ‖) - ‖ρ( x2 ) ‖·‖s ‖( ( r0 + r1 ‖x ‖+η) sgn (s) ) + q0 r‰0 r‰ · 0 + q1 r‰1 r‰ · 1 . 将自适应律(9) 代入上式可得 VÛ≤η‖ρ( x2 ) ‖·‖s ‖ < 0. (12) 由于 ‖ρ( x2 ) ‖> 0 ,η> 0 , 所以可以保证系统全局 一致渐近收敛至 s = 0 [9 ] . 下面讨论滑动面向量 s 的 收敛率问题 , 根据式(10) 和(12) 可得 VÛ= s TÛs + q0 r‰0 r‰ · 0 + q1 r‰1 r‰ · 1 ≤- η‖ρ( x2 ) ‖· ‖s ‖s TÛs + q0 r‰0 q - 1 0 ‖ρ( x2 ) ‖·‖s ‖ 或 q1 r‰1 q - 1 1 ‖ρ( x2 ) ‖·‖s ‖·‖x ‖≤ - η‖ρ( x2 ) ‖·‖s ‖. ‖s ‖·‖Ûs ‖ ≥„r0 ‖ρ( x2 ) ‖·‖s ‖ 或 r‰1 ‖ρ( x2 ) ‖·‖s ‖·‖x ‖+ η‖ρ( x2 ) ‖·‖s ‖. 则当 ‖s ‖≠0 时 ,有 ‖s ‖ ≥ ‖ρ( x2 ) ‖·‖s ‖( r‰0 + r‰1 ‖x ‖+η) ‖s ‖ . 对自适应律积分得 r‰0 = r…0 (0 , x) +∫ t 0 q - 1 0 ‖ρ( x2 ) ‖·‖s ‖dt - r0 . (13) r‰1 = r…1 (0 , x) +∫ t 0 q - 1 1 ‖ρ( x2 ) ‖· ‖s ‖·‖x ‖dt - r1 . (14) 则可得 ‖s ‖ ≠0 时 ‖Ûs ‖ρ( x2 ) ‖( r‰0 + r‰1 ‖x ‖+η) ≥ ‖ρ( x2 ) ‖η. (15) 第 5 期 姚丽萍 ,等 :一类非线性不确定系统的非奇异 Terminal 滑模控制 ·55 ·