例2-1引用第1章中例1-1的数据，如下表所示 项目 每天可用能幼 设备A(h) 0515 设备Bh) 6224 测试工序h)115 利润 21 其线性规划问题为： (P) 假定有某个公司想把美佳公司的资源收买过来，它至少应付出多大代价，才能使美佳公司愿意放弃 生产活动，出让自己的资源？ 条件：出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的赢利。 设y1,y2,y3分别代表单位时间(h)设备A、设备B和调试工序的出让代价。y1,y2,y3的取值应满 足 6y2+y32 5y1+2y2+y31 该公司希望用最小代价把美佳公司的全部资源收买过来，即： 其中第一个不等式表示美佳公司用6设备B和1h调试可生产一件家电1，赢利2元；第二个不等式表示 用5h设备A,2h设备B及1h调试可生产一件家电I,赢利1元. (D) (P)和(D)两个线性规划问题，通常称P为原问题，D为前者的对偶问题。 对偶模型的一般式见第2章PPT第4-7页。 原模型P和对偶模型D既有联系又有区别。联系在于，它们都是关于电器厂生产经营的模型，并且使 用相同的数据；区别在于，它们所反映的实质内容是完全不同的：P是站在电器厂经营者的立场上追 求电器厂的销售收入最大：而D则是站在电器厂谈判对手的立场上寻求应付电器厂租金最少的策略。 任何线性规划问题都有对偶问题，而且都有相应的经济意义。由以上不难得到，所谓对偶规划，就 是与性期别原问相取对应并使甲后 组数据按照特定方法形成的另 种反映不同性质问题的线性 规划模型。 2.2线性规划的对偶理论 线性规划的对偶理论包括四个基本定理。 定理1对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。 定理2弱对偶原理（弱对偶性）：设和分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有， 推论)若和分别是问题(P)和(D)的可行解，则C是(D)的目标函数最小值的一个下界；b是 (P)的目标函数最大值的 个上界。 这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最大值的线性规划的任意目标值都不会大于求最小值 的线性规划的任一目标值，不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值 推论(2)在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题不可 行；反之不成立。这也是对偶问题的无界性 关于无界性有如下结论： 推论)在一对对偶问题(P)和(D)中，若一个可行（如P),而另一个不可行，（如D),则该 可行的问题无界。 定理3最优性判别定理 若X*和Y分别是P和D的可行解且CX*=Yb,则X*、Y*分别是问题P和D的最优解，例2-1 引用第1章中例1-1的数据，如下表所示： 项目 I II 每天可用能力 设备A(h) 设备B(h) 测试工序(h) 0 6 1 5 2 1 15 24 5 利润 2 1 其线性规划问题为： (P) 假定有某个公司想把美佳公司的资源收买过来，它至少应付出多大代价，才能使美佳公司愿意放弃 生产活动，出让自己的资源？ 条件：出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的赢利。 假设y1,y2,y3分别代表单位时间（h）设备A、设备B和调试工序的出让代价。 y1,y2,y3的取值应满 足： 6y2+y32 5y1+2y2+y31 该公司希望用最小代价把美佳公司的全部资源收买过来，即： 其中第一个不等式表示美佳公司用6h设备B和1h调试可生产一件家电I,赢利2元；第二个不等式表示 用5h设备A,2h设备B及1h调试可生产一件家电Ⅱ，赢利1元。 （D） （P）和（D）两个线性规划问题，通常称P为原问题，D为前者的对偶问题。 对偶模型的一般式见第2章PPT第4-7页。 原模型P和对偶模型D既有联系又有区别。联系在于，它们都是关于电器厂生产经营的模型，并且使 用相同的数据；区别在于，它们所反映的实质内容是完全不同的：P是站在电器厂经营者的立场上追 求电器厂的销售收入最大;而D则是站在电器厂谈判对手的立场上寻求应付电器厂租金最少的策略。 任何线性规划问题都有对偶问题，而且都有相应的经济意义。由以上不难得到，所谓对偶规划，就 是与线性规划原问题相对应并使用同一组数据按照特定方法形成的另一种反映不同性质问题的线性 规划模型。 2.2 线性规划的对偶理论 线性规划的对偶理论包括四个基本定理。 定理1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。 定理2 弱对偶原理（弱对偶性）：设和 分别是问题（P）和（D）的可行解，则必有。 推论⑴ 若和分别是问题（P）和（D）的可行解，则C是（D）的目标函数最小值的一个下界；b 是 （P）的目标函数最大值的一个上界。 这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最大值的线性规划的任意目标值都不会大于求最小值 的线性规划的任一目标值，不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值。 推论⑵ 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题不可 行；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。 关于无界性有如下结论： 推论⑶ 在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如P），而另一个不可行，（如D），则该 可行的问题无界。 定理3 最优性判别定理： 若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且 CX* = Y* b，则X* 、Y*分别是问题 P和D 的最优解