定理4对偶定理（强对偶性）： 若一对对偶问题P和D都有可行解，则它们都有最优解，且目标函数的最优值必相等。 推论（网若P和D的任意一个有最优解，则另一个也有最优解，且目标函数的最优值相等 综上所述，一对对偶问题的关系，只能有下面三种情况之一出现： ①都有最优解，分别设为X*和Y,则必有CX=Yb; ② 一个问题无界，则另一个问题无可行解 ③两个都无可行解。 定理5互补松弛定理 设X*和Y*分别是问题P和D的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是 同时成立，其中XS,YS为剩余变量。 受时肉阳 ,若原问题的某一约束是某个最优解的松约束，则它的对偶约束一定是 2.3对偶问项的经烹解强 影子价格 定义：在一对P和D中，若P的某个约束条件的右端项常数b增加一个单位时，所引起的目标函数 最优值Z*的改变量y1称为第1个约束条件的影子价格，又称为边际价格。 影子价格， ·是一个向量，它的分量表示最优目标值随相应资源数量变化的变化 率。 影子价格的经济含义 影子价格是对现有资源实现最大效益时的一种估价。企业可以根据现有资源的影子价格，对资源的 使用有两种考虑：第一，是否将设备用于外加工或租，若租费高于某设备的影 子价格 可考虑出 该设备，否则不 宜出租 是否将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若市价低于某设备的 影子价格，可考虑买进该设备，否则不宜买进。 (②)影子价格表明资源增加对总效益产生的影响， ,影子价格反映了不同的局部或个体的增量可以获 得不同的整体经济效益。如果为了扩大生产能力，考虑增加设备，就应该从影子价格高的设备入 手。这样可以用较少的局部努力，获得较大的整体效益。 需要指出，影子价格不是固定不变的，当约束条件、产品利润等发生变化时，有可能使影子价格发 生变化。另外，影子价格的经济含义(2)，是指资源在一定范围内增加时的情况，当某种资源的增 加超过了这个”一定的范围时，总利润的增加量则不是按照影子价格给出的数值线性地增加。这个问 题还将在灵敏度分析一节中讨论。 2.4灵敏度分析 灵敏度分析，是指对系统或事物因周围条件变化所表现出的敏感性程度的分析。 在前面讲的线性规划问题中， 但实际上这些参数 都是 些估计或预测的数字。 常都是假定间题中的a,b1,c系数是已知的常数， ,©值就会发生变化如果工艺技术条件 改变，则就会变化；如果资源的可用量发生变化，则bi也会发生变化。因此就必然会提出这样的问 题，即当这些参数中的一个或几个发生变化时，问题的最优解会有什么变化，或者说，当这参数在 个多大的范围内变化时问题的最优解才会保持不变。这就是灵敏度分析所要研究解决的问题。 如果线性规划问题中的一个或几个参数变化时，完全可以用单纯形法从头计算，看最优解有无变 化，但这样做既麻烦又没有必要。因为由单纯形的迭代过程我们知道，线性规划的求解是从一组基 向最变换为另一组基向量，其中每步迭代得到的数字只随着基向量的不同选择而有所改变，因此完 全有可能把个别参数的变化直接在获得最优解的 单纯形表上反映出来。这样就不需 算，而只需对获得最优解的单纯形表进行审查，看一些数字变化后是否仍满足最优解的条件，如果 不满足的话，再从这个表开始进行迭代计算，求得最优解即可。这也就是灵敏度分析。 定理4 对偶定理（强对偶性）： 若一对对偶问题 P 和 D 都有可行解，则它们都有最优解，且目标函数的最优值必相等。 推论⑷ 若 P 和 D 的任意一个有最优解，则另一个也有最优解，且目标函数的最优值相等。 综上所述，一对对偶问题的关系，只能有下面三种情况之一出现： ① 都有最优解，分别设为X* 和 Y*，则必有CX* =Y*b； ② 一个问题无界，则另一个问题无可行解； ③ 两个都无可行解。 定理5 互补松弛定理： 设X*和Y*分别是问题 P 和 D 的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是 同时成立，其中XS，YS为剩余变量。 一般而言，我们把某一可行点（如X*和Y* ）处的严格不等式约束（包括对变量的非负约束）称为松 约束，而把严格等式约束称为紧约束。所以有如下推论： 设一对对偶问题都有可行解，若原问题的某一约束是某个最优解的松约束，则它的对偶约束一定是 其对偶问题最优解的紧约束。 2.3 对偶问题的经济解释——影子价格 定义：在一对 P 和 D 中，若 P 的某个约束条件的右端项常数bi 增加一个单位时，所引起的目标函数 最优值Z* 的改变量y*i 称为第 i 个约束条件的影子价格，又称为边际价格。 影子价格 —— 是一个向量，它的分量表示最优目标值随相应资源数量变化的变化 率。 影子价格的经济含义 影子价格是对现有资源实现最大效益时的一种估价。企业可以根据现有资源的影子价格，对资源的 使用有两种考虑：第一，是否将设备用于外加工或租，若租费高于某设备的影子价格，可考虑出租 该设备，否则不宜出租。第二，是否将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若市价低于某设备的 影子价格，可考虑买进该设备，否则不宜买进。 （2） 影子价格表明资源增加对总效益产生的影响。影子价格反映了不同的局部或个体的增量可以获 得不同的整体经济效益。如果为了扩大生产能力，考虑增加设备，就应该从影子价格高的设备入 手。这样可以用较少的局部努力，获得较大的整体效益。 需要指出，影子价格不是固定不变的，当约束条件、产品利润等发生变化时，有可能使影子价格发 生变化。另外，影子价格的经济含义（2），是指资源在一定范围内增加时的情况，当某种资源的增 加超过了这个“一定的范围”时，总利润的增加量则不是按照影子价格给出的数值线性地增加。这个问 题还将在灵敏度分析一节中讨论。 2.4 灵敏度分析 灵敏度分析，是指对系统或事物因周围条件变化所表现出的敏感性程度的分析。 在前面讲的线性规划问题中，通常都是假定问题中的aij,bi,cj系数是已知的常数，但实际上这些参数 都是一些估计或预测的数字。在现实中，如果市场条件变化，cj值就会发生变化；如果工艺技术条件 改变，则aij就会变化；如果资源的可用量发生变化，则bi也会发生变化。因此就必然会提出这样的问 题，即当这些参数中的一个或几个发生变化时，问题的最优解会有什么变化，或者说，当这参数在 一个多大的范围内变化时问题的最优解才会保持不变。这就是灵敏度分析所要研究解决的问题。 如果线性规划问题中的一个或几个参数变化时，完全可以用单纯形法从头计算，看最优解有无变 化，但这样做既麻烦又没有必要。因为由单纯形的迭代过程我们知道，线性规划的求解是从一组基 向最变换为另一组基向量，其中每步迭代得到的数字只随着基向量的不同选择而有所改变，因此完 全有可能把个别参数的变化直接在获得最优解的最终单纯形表上反映出来。这样就不需要从头计 算，而只需对获得最优解的单纯形表进行审查，看一些数字变化后是否仍满足最优解的条件，如果 不满足的话，再从这个表开始进行迭代计算，求得最优解即可。这也就是灵敏度分析