《数学分析》教案 第十一章反常积分 海南大学数学系 一、问题的提出 l、为什么要推广Riemann积分 定积分∫心fx)k有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间： 其二，若fea,b],则3M>0,使得对于任意的x∈[a,b],If(x)sM(即有 界是可积的必要条件)。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题 和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。 例1（第二字宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是火箭克服地球 引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解：设地球半径为R，,火箭质量为m,地面重力加速度为8，有万有引 力定理，在距地心x处火箭受到的引理为 F 于是火箭上升到距地心”处需要做到功为 当”→0时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 =”=e 在由能量守恒定律，可求得处速度%至少应使 mi-mgR2gR11.2(n/s) 例2、从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才 能把桶里水全部放完？ 解：由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下）， 桶里水位高度为-x时，水从小孔里流出的速度为 =2g(h-x) 设在很短一段时间△“内，桶里水面降低的高度为△x,则有下面关系：《数学分析》教案 第十一章 反常积分 海南大学数学系 2 一、 问题的提出 1、为什么要推广 Riemann 积分 定积分 ( ) b a f x dx  有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间； 其二，若 f R a b  [ , ] ，则   M 0 ，使得对于任意的 x a b [ , ]，| ( ) | f x M （即有 界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题 和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。 例 1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球 引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解： 设地球半径为 ，火箭质量为 ，地面重力加速度为 ，有万有引 力定理，在距地心 处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心 处需要做到功为 当 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度 至少应使 例 2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才 能把桶里水全部放完？ 解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下）， 桶里水位高度为 时，水从小孔里流出的速度为 设在很短一段时间 内，桶里水面降低的高度为 ，则有下面关系：