度量张量与 Eddington张量 谢锡麟 所以有 eet=∑ sonata(8g)( 可见,只有当σ= 和 时,才能保证求和式中第一项(非零 i k 如此可得 66-66 定理1.2(Rici引理).本书按度量张量及 Eddington张量沿坐标曲线变化率的观点给出相 关结论 度量张量沿坐标曲线的变化率为零 o(a)=a(09189)(a)=Vy(a)()89(a)=0∈(R 2. Eddington张量沿坐标曲线的变化率为零: b(a)=a(91899)( =Vve(x)g1(x)891(x)89(a)=0∈3(R3 证明可通过直接计算,证明相关结论 1.按协变导数的定义,有 V19i=8 (a)-Tigsi-Tiigis Tili-l Til,j+Iili-lil,j-T. i=0; Vigy=Vig9'gst)=gst VI(g) =gt(Vg°)g2+g(vg2) 8f V19+0f VIg= Vig+Vig=0 V=a2(a)+-=l-=0张量分析讲稿谢锡麟 度量张量与 Eddington 张量 谢锡麟 所以有 ε ijkεist = ∑ σ∈P3 sgnσδσ(i) i δ σ(j) s δ σ(k) t . 可见, 只有当 σ = ( i j k i j k) 和 σ = ( i j k i k j) 时, 才能保证求和式中第一项 δ σ(i) i 非零, 如此可得 ε ijkεist = δ j s δ k t − δ k s δ j t . 定理 1.2 (Ricci 引理). 本书按度量张量及 Eddington 张量沿坐标曲线变化率的观点给出相 关结论. 1. 度量张量沿坐标曲线的变化率为零: ∂G ∂xl (x) = ∂ ∂xl ( g ijgi ⊗ gj ) (x) = ∇lg ij (x)gi (x) ⊗ gj (x) = 0 ∈ T 2 (R 3 ); 2. Eddington 张量沿坐标曲线的变化率为零: ∂ε ∂xl (x) = ∂ ∂xl ( ε ijkgi ⊗ gj ⊗ gk ) (x) = ∇lε ijk(x)gi (x) ⊗ gj (x) ⊗ gk (x) = 0 ∈ T 3 (R 3 ). 证明 可通过直接计算, 证明相关结论. 1. 按协变导数的定义, 有 ∇lgij = ∂gij ∂xl (x) − Γ s ilgsj − Γ s ljgis = ( ∂gi ∂xl (x), gj ) R3 + ( gi , ∂gj ∂xl (x) ) R3 − Γil,j − Γlj,i = Γil,j + Γjl,i − Γil,j − Γlj,i = 0; ∇lg ij = ∇l(g isg jtgst) = gst∇l(g isg jt) = gst [ (∇lg is)g jt + g is(∇lg jt) ] = δ j s∇lg is + δ i t∇lg jt = ∇lg ij + ∇lg ij = 0; ∇lδ i j = ∂δi j ∂xl (x) + Γ i lsδ s j − Γ s ljδ i s = Γ i lj − Γ i lj = 0. 2