高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 例3.计算[eykd,其中D是以o0,0),A1,1),B0,1)为顶点的三角形闭区域. 分析：要使0_业=e,只需20，Q=xey2. Ox Ov 解：令P0,Q=ey,则巴P=e,因此，由格林公式有 Ox dy j∬erd=j小red=jrey'd=xerk=-er D OA+AB+BO OA 例4计算一体，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的逛续闭曲线，D 的方向为逆时针方向。 解：令P= -y 2+2,Q x2+则当+y0时，有=y2-x2 .记L所围 &x (x2+y2)2 Oy 成的闭驱域为D当0,0)eD时，由格林公式得=0：当0,0)eD时，在D内取 一圆周上：x+y=r2(>0).由L及1围成了一个复连通区域D,应用格林公式得 空产-体-0，其牌的方海取地计方向 1x2+y2 于地-*-0r002a 3x2+y2 r2 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关： 设G是一个开区域，P八x,)、Q(x)在区域G内具有一阶连续偏导数.如果对于G内任 意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L:、L,等式 LPk+Q=[P+Qd恒成立，就说曲线积分∫Pd+Q在G内与路径无关，否则 说与路径有关。 设曲线积分∫P+O小在G内与路径无关，L,和L:是G内任意两条从点A到点B的 曲线，则有LP+=L,P+Q, 因为LP+0w=L,Pk+O台LP+0-LP+Od=0 →P+O+LP+Od=0⊙f6Pk+0d=0, 所以有结论：曲线积分「P+Q在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积