高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 分Pk+O小等于零. 定理2设开区域G是一个单连通域，函数P(x)及Q(x)在G内具有一阶连续偏导数， 则曲线积分[♪+Q心在6内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分 必要条件是等式 卫_在G内恒成立. By Ox 充分性易证：若P-巴，则9P=0,由格林公式，对任意闭曲线人有 ax dy R( Pdx+Qdy= dkd少=0. dx 必要性：假设存在一点M∈G使卫_ =7≠0，不妨设>0， Ox dy 则由巴_P的连续性，存在%的一个6邻域M,),使在此邻域内有巴_P≥召.于 ax dy ax ay2 是沿邻域八M,)边界1的闭曲线积分 Pdx+Qdy= 川e那hw≥6>0， 2 U(Mp,δ) 这与闭曲线积分为零相矛盾，因此在G内巴-P=0. 8x by 注意：定理要求，区域G是单连通区域，且函数P八x)及Q(x,)在G内具有一阶连续偏导 数.如果这两个条件之一不能满足，那么定理的结论不能保证成立破坏函数R、Q及P、©卫 、x 连续性的点称为奇点. 说明：(1)计算曲线积分时，可选择方便的积分路径 (2)求曲线积分时，可利用格林公式简化计算，若积分路径不是闭曲线，可添加辅助线。 例5计算2y+x2,其中L为抛物线=上从00,0)到B1,1)的一段弧. 解：因为P_巴-2x在整个x0面内都成立， 所以在整个0面内，积分2y+x2与路径无关 2xd52xydxdy+2x =2dw=1. 4