高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 讨论：设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向，问 0省-定 和Q=在点00不连线。因为当0时， 提示：这里P=-y 8o y2-x2 Op m(x2+y2)20y ,所以如果(0,0)不在L所围成的区域内，则结论成立，而当(0,0)在L 所围成的区域内时，结论未必成立 三、二元函数的全微分求积 曲线积分在G内与路径无关，表明曲线积分的值只与起点从点（和，）与终点(x)有关 如果 「Pt+O小与路径无关，则把它记为 Pdx+Ody 即 Ph+Q=P+Q小.若起点对为G内的一定点终点G功为G肉的动点 则a力-Pk+O咖为G内的的函数 二元函数u(x,)的全微分为du(x=山(x)dr+山(x)d少. 表达式P(x,)d+Q(x)d与函数的全微分有相同的结构，但它未必就是某个函数的 全微分 那么在什么条件下表达式P(x)dx种Q(x)dy是某个二元函数u(x)的全微分呢？ 当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？ 定理3设开区域G是一个单连通域，函数P(x)及Q(x)在G内具有一阶连续偏导数， 则P(x,)dx+Q(x月dy在G内为某一函数u(x)的全微分的充分必要条件是等式 P_2在G内恒成立 dy Ox 证明：必要性：假设存在某一函数u(x),使得d=P(x,)d+Q(xy)d 则有 P=0兴)=，2-0兴=02因为 dy dhy ox Oxcy'OxOx dy Oyox 0-P、0连线，所以02-2，即P-09 Oxdy ay dyox Ox Oxay oyox By Ox 充分性：因为在6内P- dy Ox ,所以积分[P(x,y)+Qx,y) 在G内与路径无关.在G内从点(，)到点(x月的曲线积分可表示为函数(x 功-P达+Q冰因为