河南师范大学 7.2随机误差的正态分布 7.2.1频数分布 频数：每组中数据的个数。 相对频数：频数在总测定次数中所占的分数。 频数分布直方图：以各组分区间为底，相对频数为高做成的一排矩形。 特点： 1.离散特性：测定值在平均值周围波动。波动的程度用总体标准偏差σ表示。 2.集中趋势：向平均值集中。用总体平均值μ表示。在确认消除了系统误差的前提下， 总体平均值就是真值。 7.2.2正态分布（无限次测量） 1.正态分布曲线：如果以xμ（随机误差）为横坐标，曲线最高点横坐标为0，这时表示的 是随机误差的正态分布曲线。 y==cg，记为：N,g2. o2元9 μ一决定曲线在X轴的位置 。一决定曲线的形状，σ小→曲线高、陡峭，精密度好：。→曲线低、平坦，精密度差。 随机误差符合正态分布：()大误差出现的几率小，小误差出现的几率大： (2)绝对值相等的正负误差出现的几率相等： (3)误差为零的测量值出现的几率最大。 （4)Xu时的概率密度为y。2元 2.标准正态分布N(0,1) 令u=二业，y== 1 o√2π 7.2.3随机误差的区间概率 所有测量值出现的摄幸总和应为1。即国国左上。云在= 求变量在美区同出现的餐案，加忘广品在 概率积分表，p248。注意：表中列出的是单侧概率，求±u间的概率，需乘以2。 随机误差出现的区间 测量值出现的区间 概率 u=±1 x=u+lo 0.3413×2=68.26% u=2 X=H+20 0.4773×2=95.46% u=±3 X=u+3o 0.4987×2=99.74% 结论： 1.随机误差超过3σ的测量值出现的概率仅占0.3%。 2.当实际工作中，如果重复测量中，个别数据误差的绝对值大于3σ，则这些测量值可舍去。 <例>例：己知某试样中Fe的标准值为3.78%，σ=0.10，又己知测量时没有系统误差， 求1)分析结果落在(3.78±0.20)%范围内的概率：2)分析结果大于4.0%的概率。 解.1D-号-器-20查表，求得概率为20956=9546 2)分析结果大于40%的概率，M-叫_40-378-22，查表求得分析结果落在 0.10 3.78-4.00%以内的概率为0.4861，那么分析结果大于4.00%的概率为0.5000-0.4861=1.39% 2河南师范大学 7.2 随机误差的正态分布 7.2.1 频数分布 频数：每组中数据的个数。 相对频数：频数在总测定次数中所占的分数。 频数分布直方图：以各组分区间为底，相对频数为高做成的一排矩形。 特点： 1. 离散特性：测定值在平均值周围波动。波动的程度用总体标准偏差σ表示。 2. 集中趋势：向平均值集中。用总体平均值μ表示。在确认消除了系统误差的前提下， 总体平均值就是真值。 7.2.2 正态分布（无限次测量） 1．正态分布曲线：如果以 x-μ（随机误差）为横坐标，曲线最高点横坐标为 0，这时表示的 是随机误差的正态分布曲线。 ( )2 2 2 1 ( ) 2 x y fx e μ σ σ π − − = = ， 记为：N（μ，σ2）， μ－决定曲线在 X 轴的位置 σ－决定曲线的形状，σ小→曲线高、陡峭，精密度好；σ→曲线低、平坦，精密度差。 随机误差符合正态分布：(1) 大误差出现的几率小，小误差出现的几率大； （2） 绝对值相等的正负误差出现的几率相等； （3） 误差为零的测量值出现的几率最大。 （4） x=μ时的概率密度为 1 2 yx μ σ π = = 2．标准正态分布 N（0，1） 令 x u μ σ − = ， ( ) 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 2 u u y fx e y u e σ π π − − = = ⇒ =Φ = 7.2.3 随机误差的区间概率 所有测量值出现的概率总和应为 1，即 2 2 2 1 (, ) 1 2 u P e σ π +∞ − −∞ −∞ +∞ = dx = ∫ 求变量在某区间出现的概率， 2 2 2 1 (,) 2 u b a P a b e dx σ π − = ∫ 概率积分表，p248。注意：表中列出的是单侧概率，求±u 间的概率，需乘以 2。 随机误差出现的区间 测量值出现的区间 概率 u＝±1 x＝μ±1σ 0.3413×2＝68.26％ u＝±2 x＝μ±2σ 0.4773×2＝95.46％ u＝±3 x＝μ±3σ 0.4987×2＝99.74％ 结论： 1.随机误差超过 3σ的测量值出现的概率仅占 0.3%。 2.当实际工作中，如果重复测量中，个别数据误差的绝对值大于 3σ，则这些测量值可舍去。 <例>例：已知某试样中 Fe 的标准值为 3.78%，σ=0.10，又已知测量时没有系统误差， 求 1）分析结果落在（3.78±0.20）%范围内的概率；2）分析结果大于 4.0%的概率。 解：1） 0.20 2.0 0.10 x u u σ − = == 查表，求得概率为 2*0.4773=0.9546 =95.46% 2）分析结果大于 4.0%的概率， 4.00 3.78 2.2 0.10 x u u σ − − == = ，查表求得分析结果落在 3.78-4.00%以内的概率为 0.4861，那么分析结果大于 4.00%的概率为 0.5000-0.4861=1.39% 2