泊松( Poisson)分布:P{=k kl k=0.,2,…(>0) 四、连续性随机变量及概率密度函数 1定义:设是随机变量,F(x)是它的分布函数,若存在一个非负可积函数p(x)使 得对任意的x∈(+0),有F(x)=P5≤对=[mM,则称5为连续性随机变量, 称p(x)为的概率密度函数或分布密度函数。 由定义显然可知,F(x)连续。 2F(x)的几何意义:p(x)在几何上表示一条曲线称为分 布密度曲线,则F(x)的几何意义是:以分布曲线p(x)为顶, P(r) 以ⅹ轴为底,从-∞到x的一块变面积 3密度函数具有如下性质 (1)非负性:p(x)≥0,x∈R (2)规范性:p(x)bx=1 P0:由分布函数的性质有:1=lmF(x)=[p()d 注:任意一个满足以上二性质的函数,都可以作为某连续型随机变量的密度函数。 (3)若p(x)在x处是连续的,则F(x)=p(x) 注:由该性质,在连续点x处有p(x)=lmf(x+△x)-F(x) P{x<5≤x+Ax} Ax→0+ △x 从这里我们看到概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似,这就是为什么称 之为概率密度的缘故。 (4)设a,b为任意实数,且a<b,则p{a<5≤b}=p(x) (5)若ξ是连续型随机变量,则va∈R,P{5=a}=0 事实上,wAx>0,有0≤P5=≤P(-Ax<5sd}=px 而mCmx)=0:P=a=0 概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布9概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 9 4.泊松（Poisson）分布： 0,1,2, ( 0) ! { = } = =  −    e  k  k P k k 四、连续性随机变量及概率密度函数 1.定义：设  是随机变量，F(x) 是它的分布函数，若存在一个非负可积函数 p(x) 使 得对任意的 x (−,+) ，有 − =  = x F(x) P{ x} p(t)dt ，则称  为连续性随机变量， 称 p(x) 为  的概率密度函数或分布密度函数。 由定义显然可知， F(x) 连续。 2. F(x) 的几何意义： p(x) 在几何上表示一条曲线称为分 布密度曲线，则 F(x) 的几何意义是：以分布曲线 p(x) 为顶， 以 X 轴为底，从−  到 x 的一块变面积。 3.密度函数具有如下性质： (1) 非负性： p(x)  0，x  R (2) 规范性：  + − p(x)dx =1 Proof：由分布函数的性质有：  + →+ − = F x = p t dt x 1 lim ( ) ( ) 注：任意一个满足以上二性质的函数，都可以作为某连续型随机变量的密度函数。 (3) 若 p(x) 在 x 处是连续的，则 F'(x) = p(x) 注：由该性质，在连续点 x 处有 x P x x x x F x x F x p x x x    +  =  +  − =  → +  → + { } lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0  ， 从这里我们看到概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似，这就是为什么称 之为概率密度的缘故。 (4)设 a，b 为任意实数，且 a  b ，则    = b a p{a  b} p(x)dx (5)若  是连续型随机变量，则 a  R , P{ = a} = 0 事实上，  −    =  −    = a a x x 0 , 有0 P{ a} P{a x  a} p(x)dx 而 lim ( ) 0 { } 0 0 =  = =  →  − p x dx P a a x a x 