第二章随机变量及其概率分布 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】8学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解随机变量的概念 2、理解离散型随机变量的概念及其分布律的概念和性质 3、理解连续型随机变量的概念及其概率密度函数的概念和性质 4、理解分布函数的概念,并知道其性质; 5、会利用分布律、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概率; 6、会求简单的随机变量函数的概率分布 7、了解二维随机变量的概念,知道二维随机变量的边缘(边际)分布、 联合分布函数等概念; 8、了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数的概念及性质,进一 步掌握其边缘分布与联合分布的关系,并会计算有关事件的概率 了解二维连续型随机变量独立性的概念 本章重点】随机变量的概念;连续型(离散型)随机变量的密度函数(分布律)的 概念和性质以及它们的分布函数的概念和性质;二维随机变量的边缘分 布、联合分布函数等概念;随机变量函数的概率分布以及二维随机变量 独立性的概念。 【本章难点】随机变量的概念及性质;连续型随机变量的概率密度函数及分布函数的 性质与相关计算;二维连续型随机变量的边缘分布与联合分布的关系以 及独立性的概念 【授课内容及学时分配】 §2.1隨机变量的概念 在第一章里,我们主要研究了随机事件及其概率,同学们可能会注意到在随机现 象中,有很大一部分问题与实数之间存在着某种客观的联系。例如,在产品检验问题 中,我们关心的是抽样中出现的废品数;在车间供电问题中,我们关心的是某时期正 概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布
概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 1 第二章 随机变量及其概率分布 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】8 学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解随机变量的概念; 2、理解离散型随机变量的概念及其分布律的概念和性质; 3、理解连续型随机变量的概念及其概率密度函数的概念和性质; 4、理解分布函数的概念,并知道其性质; 5、会利用分布律、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概率; 6、会求简单的随机变量函数的概率分布; 7、了解二维随机变量的概念,知道二维随机变量的边缘(边际)分布、 联合分布函数等概念; 8、了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数的概念及性质,进一 步掌握其边缘分布与联合分布的关系,并会计算有关事件的概率; 了解二维连续型随机变量独立性的概念。 【本章重点】随机变量的概念;连续型(离散型)随机变量的密度函数(分布律)的 概念和性质以及它们的分布函数的概念和性质;二维随机变量的边缘分 布、联合分布函数等概念;随机变量函数的概率分布以及二维随机变量 独立性的概念。 【本章难点】随机变量的概念及性质;连续型随机变量的概率密度函数及分布函数的 性质与相关计算;二维连续型随机变量的边缘分布与联合分布的关系以 及独立性的概念。 【授课内容及学时分配】 §2.1 随机变量的概念 在第一章里,我们主要研究了随机事件及其概率,同学们可能会注意到在随机现 象中,有很大一部分问题与实数之间存在着某种客观的联系。例如,在产品检验问题 中,我们关心的是抽样中出现的废品数;在车间供电问题中,我们关心的是某时期正
在工作的车床数;在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等。对于这类随机现 象,其试验结果显然可以用数值来描述,并且随着试验的结果不同而取不同的数值 然而,有些初看起来与数值无关的随机现象,也常常能联系数值来描述。比如,在投 硬币问题中,每次实验出现的结果为正面或反面,与数值没有联系,但我们可以通过 指定数“1”代表正面,“0”代表反面,为了计算n次投掷中出现的正面就只须计算 其中“1”出现的次数了,从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。 般地,如果A为某个随机事件,则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生 1A发生 联系:1,=(04不发生 这就说明了,不管随机试验的结果是否具有数量的性质,我们都可以建立一个样 本空间和实数空间的对应关系,使之与数值发生联系 为了全面的研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,我们将随机试验 的结果与实数对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机变量的概念。 引例:随机试验E1:从一个装有编号为0,1,2,…,9的球的袋中任意摸一球。 则其样本空间Ω={,ω1,…,O},其中o,“摸到编号为i的球”,i=0,1,,9 定义函数:O,→i,即ξ(a,)=,=0,1,…,9 这就是Ω和整数集{0,1,2,…,9}的一个对应关系,此时表示摸到球的号码。 从上例中,我们不难体会到: ①对应关系ξ的取值是随机的,也就是说,在试验之前,ξ取什么值不能确定, 而是由随机试验的可能结果决定的,但的所有可能取值是事先可以预言的。 ②5是定义在Ω上而取值在R上的函数 同时在上例中,我们可以用集合{a,:5(0,)≤5}表示“摸到球的号数不大于5” 这一随机事件,因而可以计算其概率。习惯上我们称定义在样本空间Ω上的单值实函 数ξ为随机变量。这就有了如下定义: 定义:设随机试验E的样本空间为9={o},5=(0)是定义在Ω上的单值实函数, 概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布
2 概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 在工作的车床数;在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等。对于这类随机现 象,其试验结果显然可以用数值来描述,并且随着试验的结果不同而取不同的数值。 然而,有些初看起来与数值无关的随机现象,也常常能联系数值来描述。比如,在投 硬币问题中,每次实验出现的结果为正面或反面,与数值没有联系,但我们可以通过 指定数“1”代表正面,“0”代表反面,为了计算 n 次投掷中出现的正面就只须计算 其中“1”出现的次数了,从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。 一般地,如果 A 为某个随机事件,则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生 联系: = 不发生 发生 A A A 0 1 1 这就说明了,不管随机试验的结果是否具有数量的性质,我们都可以建立一个样 本空间和实数空间的对应关系,使之与数值发生联系。 为了全面的研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,我们将随机试验 的结果与实数对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机变量的概念。 引例:随机试验 E1:从一个装有编号为 0,1,2,…,9 的球的袋中任意摸一球。 则其样本空间 ={ 0 ,1,…,9 },其中 i “摸到编号为 i 的球”, i =0,1,…,9. 定义函数 : i → i ,即 ( i )= i ,i =0,1,…,9。 这就是 和整数集{0,1,2,…,9}的一个对应关系,此时 表示摸到球的号码。 从上例中,我们不难体会到: ①对应关系 的取值是随机的,也就是说,在试验之前, 取什么值不能确定, 而是由随机试验的可能结果决定的,但 的所有可能取值是事先可以预言的。 ② 是定义在 上而取值在 R 上的函数。 同时在上例中,我们可以用集合{ i: ( i ) 5}表示“摸到球的号数不大于 5” 这一随机事件,因而可以计算其概率。习惯上我们称定义在样本空间 上的单值实函 数 为随机变量。这就有了如下定义: 定义:设随机试验 E 的样本空间为 = {}, = ( )是定义在 上的单值实函数
若对任意实数x,集合{o:(o)≤x}是随机事件,则称=5(o)为随机变量( Random Variable)。 定义表明随机变量=5(O)是样本点的函数,为方便起见,通常写为ξ,而集 合{o:5()≤x}简记为{5≤x}。 如在上例中,摸到不大于5号球的事件可表示为{≤5},则其概率为 P{5≤5}=3/5。 随机变量的引入,使概率论的硏究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机 现象的研究。正因为随机变量可以描述各种随机事件,使我们摆脱只是孤立的去研究 个随机事件,而通过随机变量将各个事件联系起来,进而去研究其全部。今后,我 们主要研究随机变量和它的分布。 §2.2随机变量的概率分布 对于随机变量来讲,我们不仅关心它取哪些值,更关心它以多大的概率取那些值, 即研究随机变量的统计规律性一分布函数。 随机变量的分布函数 由前可知,若ξ是随机变量,则对x∈R,{≤x}是随机事件,所以P{ξ≤x}有 意义。当实数a<b时,有:P{a<≤b}=P{≤b}-P{≤a} 可见,只要对一切实数x给出概率P{≤x},则任何事件{a<5≤b}及它们的可列 交、可列并的概率都可求得。从而P{ξ≤x},x∈R完全刻划了随机变量ξ的统计规律, 并决定了随机变量ξ的一切概率特征 1.定义:设ξ是Ω上的随机变量,对vx∈R, 在其内的抵率 称F(x)=P{≤x}为2的分布函数 2性质:设F(x)是随机变量ξ的分布函数,则F(x)具有如下性质 ①单调非降性:即对ⅵx<x2∈R,F(x1)≤F(x2) 概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布3
概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 3 若对任意实数 x ,集合{ : ( ) x}是随机事件,则称 = ( )为随机变量(Random Variable)。 定义表明随机变量 = ( )是样本点 的函数,为方便起见,通常写为 ,而集 合{ : ( ) x}简记为{ x}。 如在上例中,摸到不大于 5 号球的事件可 表示为{ 5},则其概率为 P{ 5}=3/5。 随机变量的引入,使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机 现象的研究。正因为随机变量可以描述各种随机事件,使我们摆脱只是孤立的去研究 一个随机事件,而通过随机变量将各个事件联系起来,进而去研究其全部。今后,我 们主要研究随机变量和它的分布。 §2.2 随机变量的概率分布 对于随机变量来讲,我们不仅关心它取哪些值,更关心它以多大的概率取那些值, 即研究随机变量的统计规律性—分布函数。 一、随机变量的分布函数 由前可知,若 是随机变量,则对 x R,{ x}是随机事件,所以 P{ x}有 意义。当实数 a<b 时,有:P{a< b}=P{ b}-P{ a} 可见,只要对一切实数 x 给出概率 P{ x},则任何事件{a< b}及它们的可列 交、可列并的概率都可求得。从而 P{ x},x R 完全刻划了随机变量 的统计规律, 并决定了随机变量 的一切概率特征。 1.定义:设 是 上的随机变量,对 x R, 称 F(x) = P{ x}为 的分布函数。 2.性质:设 F(x) 是随机变量 的分布函数,则 F(x) 具有如下性质: ①单调非降性:即对 x1 x2 R, ( ) ( ) 1 2 F x F x
Pw0:对x1 由定义可见,要计算ξ取值的概率可以通过其分布函数来实现。为了研究随机变 量ξ的概率分布,我们常选择F(x)来代替之。 3运算:若aa}=1-F(a) P{2≥a}=1-F(a-0) P{a≤≤b}=F(b)-F(a-0) P{a≤ξ<b}=F(b-0)-F(a-0) P{a<ξ<b}=F(b-0)-F(a) 例2:已知5的分布函数为 /20≤x<1 F(x)=231≤x<2 11/122≤x<3 x≥3 概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布
4 概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 Proof:对 1 2 x x ,有 { } { } 1 2 x x ,则 ( ) { } { } ( ) 1 1 2 2 F x = P x P x = F x ②规范性: (−) = lim ( ) = 0, (+) = lim ( ) = 1 →− →+ F F x F F x x x , ③右连续性:对 , x0 R 有 lim ( ) ( ) 0 0 F x F x x x = → + (性质②,③的证明可参考其它有关的资料) 注:反之可证明:对于任意一个函数,若满足上述三条性质的话,则它一定是 某随机变量的分布函数。 例 1:判断下列函数是否为分布函数 = 1 / 2 sin 0 / 2 0 0 ( ) 1 x x x x F x (√) = x x x x F x 1 cos 0 0 0 ( ) 2 (×) 由定义可见,要计算 取值的概率可以通过其分布函数来实现。为了研究随机变 量 的概率分布,我们常选择 F(x) 来代替之。 3.运算:若 a bR, ~ F(x) 则有: { } ( ) ( ) { } lim ( ) ( 0) ˆ { } { } { } ( ) ( 0) { } 1 ( ) { } 1 ( 0) { } ( ) ( 0) { } ( 0) ( 0) { } ( 0) ( ) x a P a b F b F a P a F x F a P a P a P a F a F a P a F a P a F a P a b F b F a P a b F b F a P a b F b F a → − = − = = − = = − = − − = − = − − = − − = − − − = − − 例 2:已知 的分布函数为 = 1 3 11/12 2 3 2 / 3 1 2 / 2 0 1 0 0 ( ) x x x x x x F x
求P{≤3},P{=},P{>12},P{21/2}=1-P{≤l/2}=1-F(1/2)=1-1/4=3/4 P{21 解:由右连续性知lmF(x)=1,而F(1)=A12,∴A=1 即F(x)=x200) 求 0=F(a)=lim F(x)=lim(4+B arcsin(x/a)=A+ Barcsin(-1)=A-T 解:由 1= lim F(x)=F(a)=A+Arcsin(x/a)=A+B A=1/x,B=1/2 概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布5
概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 5 求 P{ 3},P{ =1},P{ 1/ 2},P{2 4}。 解: {2 4} { 4} { 2} (4 0) (2) 1 11/12 1/12 { 1/ 2} 1 { 1/ 2} 1 (1/ 2) 1 1/ 4 3/ 4 { 1} (1) (1 0) 2 / 3 1/ 2 1/ 6 { 3} (3) 1 = − = − − = − = = − = − = − = = = − − = − = = = P P P F F P P F P F F P F 例 3:设某随机变量的分布函数为 F(x) = A + Barctan x ,试确定 A,B 的值。 解:由 ( ) lim ( ) lim ( arctan ) / 2 1 ( ) lim ( ) lim ( arctan ) / 2 0 + = = + = + = − = = + = − = →+ →+ →− →− F F x A B x A B F F x A B x A B x x x x 得 A = 1/ 2,B = 1/ 例 4:设 的分布函数为 = 1 1 0 1 0 0 ( ) 2 x Ax x x F x 确定 A 并求 P{0.3 0.7} 解:由右连续性知 lim ( ) 1 1 = → + F x x ,而 2 F(1) = A1 , A = 1 即 ( ) ,0 1 2 F x = x x 则 {0.3 0.7} (0.7 0) (0.3) 0.7 0.3 0.4 2 2 P = F − − F = − = 例 5:设某随机变量的分布函数为 + − − = x a A B x a x a x a F x 1 arcsin( / 2) 0 ( ) (a>0) 求 A,B。 解:由 = = = + = + = − = = + = + − = − → + →− + →− + F x F a A B x a A B F a F x A B x a A B A B x a x a x a 2 1 lim ( ) ( ) arcsin( / ) 2 0 ( ) lim ( ) lim ( arcsin( / ) arcsin( 1) A = 1/,B = 1/ 2
课后作业:1、仔细阅读P30-33; 2、作业:P611,3,6,7; 3、预习P33-39 概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布
6 概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 课后作业:1、仔细阅读 P30-33; 2、作业:P61 1, 3, 6, 7; 3、预习 P33-39
随机变量的分类 离散型rP 的取值只有有限个或可数个 非离散型r 连续型r.坷可以取某一区间的任一数为值 其它 、离散型随机变量及其分布律(列) 1定义:设ξ是Ω上的随机变量,若ξ的全部可能取值为有限个或可列无限个(即 ξ的全部可能取值可一一列举出来),则称ξ为离散型随机变量。 若ξ的取值为x1,(=1,2,…),把事件{=x}的概率记为P{=x}=P,=12,…,则 为的分布列。 P1,P2,…,P1 【注】:由定义可知,若样本空间g是离散的,则定义在Ω上的任何单值实函数都是 离散型随机变量。 2离散型随机变量的分布列满足下列性质: (1)并非负性:p1≥0 (2)规范性:∑P Pro∵P是概率,即p,=P=x},故p2≥0 由于x,x2,…x,…是5的一切可能取值,故有9=U{=x},注意到对任意 的i≠j,有{5=x}1=x}=, 由概率的可列可加性知:1=P}=P心=x}=∑P=x}=∑P 反之,任意一个满足以上二性质的数列{p},都可以作为某离散型随机变量的分 布列。 概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布7
概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 7 二、随机变量的分类 其它 连续型 可以取某一区间的任一数为值 非离散型 离散型 的取值只有有限个或可数个 . . . . . . r v r v r v r v 三、离散型随机变量及其分布律(列) 1.定义:设 是 上的随机变量,若 的全部可能取值为有限个或可列无限个(即 的全部可能取值可一一列举出来),则称 为离散型随机变量。 若 的取值为 x ,(i =1,2, ) i ,把事件 { }i = x 的概率记为 P{ = xi} = pi ,i =1,2, ,则 称 , , , , , , , , 1 2 1 2 i i p p p x x x 为 的分布列。 【注】:由定义可知,若样本空间 是离散的,则定义在 上的任何单值实函数都是 离散型随机变量。 2.离散型随机变量 的分布列满足下列性质: (1)非负性: pi 0 (2)规范性: + = = 1 1 i pi Proof: pi 是概率,即 { } i i p = P = x ,故 pi 0 由于 x1 , x2 , , xn , 是 的一切可能取值,故有 + = = = 1 { } i i x ,注意到对任意 的 i j ,有 { = xi }{ = x j } = , 由概率的可列可加性知: + = + = + = = = = = = = 1 1 1 1 { } { { }} { } i i i i i P P xi P x p 反之,任意一个满足以上二性质的数列 { } pi ,都可以作为某离散型随机变量的分 布列
有了5的分布列以后,我们可以通过如下方式求的分布函数: 3离散型随机变量的分布函数 F(x)=P≤x=∑P{=x},若这样的不存在,规定F(x)=0 显然,F(x)是一个右连续、单调非降的递阶函数,它在每个x,处有跳跃,其跃度 为p,当然,由F(x)也可以唯一确定x和p,。因此的分布列也完全刻画了离散型 随机变量取值的规律。这样,对于离散型随机变量,只要知道它的一切可能取值和取 这些值的概率,也就是说知道了它的分布列,也就掌握了这个离散型随机变量的统计 规律。 例1:袋中装有5只同样大小的球,编号为1,2,3,4,5,从中同时取出3只球, 求取出的最大号E的分布列及其分布函数并画出其图形 解:先求的分布列:由题知,5的可能取值为3,4,5,且 P{=3}=1/C3=1/10,P{=4}=C3/C3=3/10,P=5}=C2/C3=6/10, 5的分布列为:345 1/103/106/10 ,由F(x)=P{5≤x}=∑P得 x<3 1/103≤x<4 F(x)= 215 2/54≤x<5 1110 注:离散型随机变量的分布列与其分布函数是一一对应的。 常见的离散型分布有: x<a 1退化分布(单点分布):F(x)= P{2=a}=1, x≥a 2.贝努里分布(两点分布): 或P{X=x}=p(1-p) 0.1 3二项分布:B(k;n,p)=P{=k} k=0,1,2 概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布
8 概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 有了 的分布列以后,我们可以通过如下方式求 的分布函数: 3.离散型随机变量的分布函数: : ( ) { } { } i i i x x F x P x p x = = = ,若这样的 i 不存在,规定 F(x) = 0 显然, F(x) 是一个右连续、单调非降的递阶函数,它在每个 i x 处有跳跃,其跃度 为 i p ,当然,由 F(x) 也可以唯一确定 i x 和 i p 。因此 的分布列也完全刻画了离散型 随机变量取值的规律。这样,对于离散型随机变量,只要知道它的一切可能取值和取 这些值的概率,也就是说知道了它的分布列,也就掌握了这个离散型随机变量的统计 规律。 例 1:袋中装有 5 只同样大小的球,编号为 1,2,3,4,5,从中同时取出 3 只球, 求取出的最大号 的分布列及其分布函数并画出其图形。 解:先求 的分布列:由题知, 的可能取值为 3,4,5,且 { 3} 1/ 1/10, { 4} / 3/10, { 5} / 6 /10 3 5 2 4 3 5 2 3 3 P = = C5 = P = = C C = P = = C C = , 的分布列为: 1/10 3/10 6 /10 3 4 5 ,由 = = x x i i i F(x) P{ x } p 得: = 1 5 2 / 5 4 5 1/10 3 4 0 3 ( ) x x x x F x 注:离散型随机变量的分布列与其分布函数是一一对应的。 常见的离散型分布有: 1.退化分布(单点分布): = x a x a F x 1 0 ( ) , P{ = a} = 1, 2.贝努里分布(两点分布): q p 0 1 或 { } (1 ) 0,1 1 = = − = − P X x p p x x x 3.二项分布: p q k n k n B k n p P k ( ; , ) { } k n k = 0,1,2, = = = −
泊松( Poisson)分布:P{=k kl k=0.,2,…(>0) 四、连续性随机变量及概率密度函数 1定义:设是随机变量,F(x)是它的分布函数,若存在一个非负可积函数p(x)使 得对任意的x∈(+0),有F(x)=P5≤对=[mM,则称5为连续性随机变量, 称p(x)为的概率密度函数或分布密度函数。 由定义显然可知,F(x)连续。 2F(x)的几何意义:p(x)在几何上表示一条曲线称为分 布密度曲线,则F(x)的几何意义是:以分布曲线p(x)为顶, P(r) 以ⅹ轴为底,从-∞到x的一块变面积 3密度函数具有如下性质 (1)非负性:p(x)≥0,x∈R (2)规范性:p(x)bx=1 P0:由分布函数的性质有:1=lmF(x)=[p()d 注:任意一个满足以上二性质的函数,都可以作为某连续型随机变量的密度函数。 (3)若p(x)在x处是连续的,则F(x)=p(x) 注:由该性质,在连续点x处有p(x)=lmf(x+△x)-F(x) P{x0,有0≤P5=≤P(-Ax<5sd}=px 而mCmx)=0:P=a=0 概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布9
概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 9 4.泊松(Poisson)分布: 0,1,2, ( 0) ! { = } = = − e k k P k k 四、连续性随机变量及概率密度函数 1.定义:设 是随机变量,F(x) 是它的分布函数,若存在一个非负可积函数 p(x) 使 得对任意的 x (−,+) ,有 − = = x F(x) P{ x} p(t)dt ,则称 为连续性随机变量, 称 p(x) 为 的概率密度函数或分布密度函数。 由定义显然可知, F(x) 连续。 2. F(x) 的几何意义: p(x) 在几何上表示一条曲线称为分 布密度曲线,则 F(x) 的几何意义是:以分布曲线 p(x) 为顶, 以 X 轴为底,从− 到 x 的一块变面积。 3.密度函数具有如下性质: (1) 非负性: p(x) 0,x R (2) 规范性: + − p(x)dx =1 Proof:由分布函数的性质有: + →+ − = F x = p t dt x 1 lim ( ) ( ) 注:任意一个满足以上二性质的函数,都可以作为某连续型随机变量的密度函数。 (3) 若 p(x) 在 x 处是连续的,则 F'(x) = p(x) 注:由该性质,在连续点 x 处有 x P x x x x F x x F x p x x x + = + − = → + → + { } lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 , 从这里我们看到概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似,这就是为什么称 之为概率密度的缘故。 (4)设 a,b 为任意实数,且 a b ,则 = b a p{a b} p(x)dx (5)若 是连续型随机变量,则 a R , P{ = a} = 0 事实上, − = − = a a x x 0 , 有0 P{ a} P{a x a} p(x)dx 而 lim ( ) 0 { } 0 0 = = = → − p x dx P a a x a x
从此可知:概率为0的事件不一定是不可能事件,称为几乎不可能事件;同样概 率为1的事件也不一定是必然事件。这样,对连续性随机变量ξ有: P{aa;=p(x)dx 例2:设随机变量5的密度函数为p(x)= kx(1-x)00,试确 定k的值并求概率p{>0.3}和的分布函数。 解:由1=()=[601-)=(x=x2)=k/6 →k=6 P>0.3}=,p(x)dt=,6x(1-x)x=0.784 由于密度函数为p(x)=60-x)00) 0x<0 以后当我们提到一个随机变量X的“概率分布”时指的是它的分布函数;或者 当κ是离散型随机变量时指的是它的分布律,当X是连续型随机变量时指的是它的 概率密度。 10概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布
10 概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 从此可知:概率为 0 的事件不一定是不可能事件,称为几乎不可能事件;同样概 率为 1 的事件也不一定是必然事件。这样,对连续性随机变量 有: = = = = b a P{a b} P{a b} P{a b} P{a b} p(x)dx , + = = a P{ a} P{ a} p(x)dx 例 2:设随机变量 的密度函数为 − = 0 其它 (1 ) 0 1 ( ) kx x x p x 其中常数 k 0 ,试确 定 k 的值并求概率 p{ 0.3} 和 的分布函数。 解:由 + − = = − = − = 1 0 1 0 2 1 p(x)dx k x(1 x)dx k (x x )dx k / 6 k = 6 + = = − = 0.3 1 0.3 P{ 0.3} p(x)dx 6x(1 x)dx 0.784 由于密度函数为 − = 0 其它 6 (1 ) 0 1 ( ) x x x p x 分布函数 − = 1 1 6 (1 ) 0 1 0 0 ( ) 0 x t t dt x x F x x 注:连续型随机变量的密度函数与其分布函数之间是一一对应的。 常见的连续型分布有:①均匀分布: U[a,b] , = − 0 其它 1 ( ) a x b p x b a ; ②正态分布: ( , ) 2 N a , − + = − − p x e x x a 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) ; ③指数分布: P() , ( . 0) 0 0 0 ( ) = − x e x p x x 。 以后当我们提到一个随机变量 X 的“概率分布”时指的是它的分布函数;或者, 当 X 是离散型随机变量时指的是它的分布律,当 X 是连续型随机变量时指的是它的 概率密度