第入 线业变换 (x,y20)
x y z ( x, y, z) (x, y, 0) 0 第六章
本章主要讨论如下几个方面: 1)线性变换的概念; 2)线性变换和矩阵; 3)线性变换的特征值与特征向量 本章中如不特别申明,所考虑的数域都 是指实数域 第六章
第六章 工 程 数 学 本章主要讨论如下几个方面： 1) 线性变换的概念； 2) 线性变换和矩阵； 3) 线性变换的特征值与特征向量. 本章中如不特别申明，所考虑的数域都 是指实数域
§1线性变换的概念 线性变换的概念 定义1 设a是向量空间V到其自身的一个映射, 如果a满足: 1)a(a+B)=a(a)+a() 2)a(ka)=kσ(a) 其中aB为任意向量,k为任意实数 则称a是V的一个线性变换,a(a)称为a在a下 的象,也可记为aa σ有上面的性质也说成σ保持向量的线性运算 第六章
第六章 工 程 数 学 定义1 §1 线性变换的概念 一、线性变换的概念 设 是向量空间 V 到 其自身的一个映射， 如果 满足: 1) (+) = ()+ ( ), 2) (k) = k ( ). 其中, 为V中任意向量，k为任意实数 有上面的性质也说成 保持向量的线性运算. 则称 是 V 的一个线性变换. ()称为 在 下 的象，也可记为
注 (1)向量空间中变换的写法 σ:(x,y)>(x+y,x-y),(x,y)∈R2 σ(x,y)=(x+y,x-y),(x,y)∈R2 第六章
第六章 工 程 数 学 (1) 向量空间中变换的写法 : (x, y)→(x+y, x−y), (x, y) R2 (x, y)=(x+y, x−y), (x, y) R2 注
注 (2)「(c+B)=o(a)+o(B), o(ka)=ko a). 可简写成 (k2+k2/B)=k1o()+k2O(B 第六章
第六章 工 程 数 学 注 (2) ( ) ( ) ( ) k1 + k2 = k1 + k2 可简写成 (+)= ()+ ( ), (k)= k ( )
例1.R3中σ(x,y,z)=(x,y,0)是线性变换 事实上,设a=(x1,y1,z1),B=(x2,y2,z2) o(a+B)=σ(x1+x2,y1+y2 2 Xtx +y2,0) (x1y1,0)+(x2,y2,O) (a)+a(B) 第六章
第六章 工 程 数 学 例1. R3 中 ( x, y, z) = (x, y, 0) 是线性变换. 事实上, 设 = ( x1 , y1 , z1 ) , =( x2 , y2 , z2 ) ( + ) = ( x1+ x2 , y1 + y2 , z1+ z2 ) = ( x1+ x2 , y1 + y2 , 0 ) = ( x1 , y1 , 0) +( x2 , y2 , 0) = ( ) + ( )
o(ka)=o(kxl kyi, ke, (kx1,ky1,0) k(x12y1,0) X (x,y ko (a) 故σ(x,y,z)=(x,y,0)是R3中线性变换,称 之为R3中向xOy面的投影变换 第六章
第六章 工 程 数 学 (k ) = (k x1 , k y1 , kz1 ) = ( k x1 , k y1 , 0 ) = k (x1 , y1 , 0 ) = k ( ) 故 ( x, y, z) = (x, y, 0) 是 R3 中线性变换，称 之为 R3 中向 xOy 面的投影变换. x y z ( x, y, z) (x, y, 0) 0
例2在R2中,设0≤( x cos e-ysin,xsin6+ acos) 则a是R2的一个线性变换 称线性变换σ是绕 原点按逆时针方向旋转 0 6角的旋转变换 第六章
第六章 工 程 数 学 例2 在 R2 中，设 0≤ <2 , 令 ：(x, y)→ (x cos−ysin, xsin + ycos ) 则 是 R2 的一个线性变换. 称线性变换 是绕 原点按逆时针方向旋转 角的旋转变换. x y ( x, y) 0
事实上,由 o(x2y)+(x1,y1)a(x+x12y+y1) [(x+x1cos8-(y+yusin 8, (+xusin 8+(y+y1)cos 0)1 (x cos 8-ysin 8, xsin 0+ ycos 6 +(x cos 0-y1 sin 0,x1 sin 8+]1 cos 0) =a(x,y)+a(x1,y1) 第六章
第六章 工 程 数 学 事实上，由 ((x, y)+(x1 , y1 ))= (x+x1 , y+y1 ) [( )cos ( )sin ,( )sin ( )cos )] = x + x1 − y + y1 x + x1 + y + y1 = (x cos − y sin , x sin + y cos ) ( , ) ( , ) 1 1 = x y + x y ( cos sin , sin cos ) + x1 − y1 x1 + y1
o(k(x,y)=o(kx, ky) (kxcos 0-kysin 6, kxsin 6+ kycos 0) k(cos 0-ysin 0,xsin 0+y 0) ko(x,y) 故σ是线性变换 第六章
第六章 工 程 数 学 (k(x, y)) = (k x, k y) = (k xcos − k ysin , k xsin + k ycos ) = k(x cos − y sin , x sin + y cos ) = k (x, y) 故 是线性变换