湖南大学：《工程数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 二次型与二次曲面

1a1 12a1 13 第七章2| 32 33 如b出 fo xXC1。X 125n

                    = z y x a a a a a a a a a f (x, y,z) 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 第七章 = = = n i n j n i j i j f x x x a x x 1 1 1 2 ( , ,, )

程数 81、二次型及其矩阵表示 、三元二次型及其表示 定义 二次齐次多项式 f(x,v,)=aux+a22y2+a33+ 2a1xxy+2 a13x+2a23Vz 称为实二次型.其中Gn为实常数 第七章

第七章 工 程 数 学 定义 二次齐次多项式 f (x, y, z) = a11x 2 + a22y 2 + a33z 2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz 称为实二次型. 其中aij 为实常数. 一、三元二次型及其表示 §1、二次型及其矩阵表示

程國学 f=aux+ a22y2+a332+2a1xy+ 2a13xz+2a23yz 取 21=a12,a1=a13,432=a23, 从而,2a12xy=a12xy+a2, 2a13X=a13xz+a312X, 2a232=a2y2+a32y 第七章

第七章 工 程 数 学 f = a11x 2 + a22y 2 + a33z 2 +2a12xy + 2a13xz + 2a23yz 取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 , 从而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx , 2a23yz = a23yz + a32zy

程数 f=aux+ a22y2+a3322+2auxy+2a13xz+2a23vz f=auxl+ alxy+ a13xz a2iyx t a22<+ a23Vz +a31x+a324 y+ a33 x(alx+ ally+a13) +y(arr+ a22y+a23) +z(a3r(+ a32y+a33) 第七章

第七章 工 程 数 学 f = a11x 2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y 2 + a23yz + a31zx + a32zy + a33z 2 = x (a11x+ a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z) + z (a31x + a32y + a33z) f = a11x 2 + a22y 2 + a33z 2 +2a12xy + 2a13xz + 2a23yz

程数 altay 12. 十a122 13 (x,y,2)a21x+a2y+a23 a31xta32y+a333 12 23 31 32 33 第七章

第七章 工 程 数 学           + + + + + + = a x a y a z a x a y a z a x a y a z x y z 31 32 33 21 22 23 11 12 13 ( , , )                     = z y x a a a a a a a a a (x, y,z) 31 32 33 21 22 23 11 12 13

程國学 C 12 f=(x,y,2)a21 a22 a23y 31 32 =XTAX 称A为二次型∫的矩阵,它是一个对称矩阵 元实二 对应三阶实对 次型f 称矩阵A 第七章

第七章 工 程 数 学 = XT AX 称A为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵.                     = z y x a a a a a a a a a f (x, y,z) 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 三元实二 次 型 f 三阶实对 称矩阵A 一一对应 A X

例1.写出f=x2+3y2+422+2xy+3y的矩阵A 并用矩阵形式表示∫ 解 A=13 0324 0 x f=(x,y, 3) 032 2 第七章

第七章 工 程 数 学 例1. . 3 4 2 3 . 2 2 2 f f x y z x y yz A 并用矩阵形式表示 写出 = + + + + 的矩阵 解: A =           = z y x f x y z 4 2 3 0 2 3 1 3 1 1 0 ( , , ) 1 3 4 1 0 2 3 2 3 1 0

程國 例2若二次型∫的矩阵为 1√2 A=-120试写出f 解 f=(x,y)-120y x2+2y2+3z2-2xy+2√2xz 第七章

第七章 工 程 数 学 例2. 解: 若二次型 f 的矩阵为           − − = 2 0 3 1 2 0 1 1 2 A 试写出 f .                     − − = z y x f x y z 2 0 3 1 2 0 1 1 2 ( , , ) x 2y 3z 2xy 2 2xz 2 2 2 = + + − +

程数 二、n元二次型及其矩阵表示 定义 称n元实二次齐次式 f(x1,x2,…,xn)=a1x1+2a12x1x2+…+2a1n2x1xn 2 +a2x2+…+2a2x2x +aX nn·n 为n元实二次型 第七章

第七章 工 程 数 学 定义 二、n元二次型及其矩阵表示 称 n 元实二次齐次式 n n n f x x x a x a x x a x x 1 2 1 2 1 1 2 ( 1 , 2 ,  , ) = 1 1 1 + 2 ++ 2 n n a x a x x 2 2 2 + 22 2 ++ 2 + 2 nn n + a x 为 n 元实二次型

程國 = f(x1,x2…x)=∑∑ax(或∑1x) I=I J 1,J 记X=(x1,x2,…,xn),A=(an)n,则 f(x1,x2,…,xn)=XTAX, 其中A称为二次型的矩阵,A的秩称为二次 型的秩 第七章

第七章 工 程 数 学 记 aij = aji, 则 = = = n i n j n i j i j f x x x a x x 1 1 1 2 ( , ,, ) ( ) , 1 = n i j ij i j 或 a x x 记 X = ( x1 , x2 , …, xn ) T , A=(aij )nn , 则 f ( x1 , x2 , …, xn )= X TAX, 其中 A 称为二次型的矩阵，A 的秩称为二次 型的秩