《概率论与数理统计》课程教学资源（电子教案）第三章随机变量的数字特征.doc_大学文库

1 第三章随机变量的数字特征【授课对象】理工类本科二年级【授课时数】4 学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、理解数学期望、方差的概念，并掌握它们的性质。 2、会计算随机变量函数的数学期望。 3、了解协方差、相关系数的概念。【本章重点】对数学期望、方差、相关系数等数字特征概念的理解与计算。【本章难点】对不相关与相互独立间关系的理解。【授课内容及学时分配】 §3.0 前言从上一章我们可以看出，分布函数（或密度函数、分布列）给出了随机变量的一种最完全的描述。因此，原则上讲，全面认识和分析随机现象就应当求出随机变量的分布，但是对许多实际问题来讲，要想精确地求出其分布是很困难的。其实，通过对现实问题的分析，人们发现对某些随机现象的认识并不要求了解它的确切分布，而只要求掌握他们的某些重要特征，这些特征往往更能集中地反映随机现象的特点。例如要评价两个不同厂家生产的灯泡的质量，人们最关心的是谁家的灯泡使用的平均寿命更长些，而不需要知道其寿命的完全分布，同时还要考虑其寿命与平均寿命的偏离程度等，这些数据反映了它在某些方面的重要特征。我们把刻划随机变量(或其分布)某些特征的确定的数值称为随机变量的数字特征。本章主要介绍反应随机变量取值的集中位置、分散程度以及随机变量之间的线性相依程度的数字特征——数学期望、方差与相关系数（矩）。 §3.1 随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望引例：甲、乙二人进行射击比赛，以  、 分别表示他们命中的环数，其分布列分别为  ～         0.3 0.1 0.6 8 9 10  ～         0.2 0.5 0.3 8 9 10 试问谁的技术好些?

2 解：这个问题的答案并不是一眼看得出的。这说明了分布列虽然完整地描述了离散型随机变量的概率特征，但是却不够“集中”地反映出它的变化情况，因此我们有必要找出一些量来更集中、更概括地描述随机变量，这些量多是某种平均值。若在上述问题中，使两个射手各射 N 枪，则他们打中靶的总环数大约是：甲 8 0.3 N+9  0.1N+10  0.6N=9.3N 乙 8  0.2N+9  0.5N+10  0.3N=9.1N 平均起来甲每枪射中 9.3 环，乙每枪射中 9.1 环，因此可以认为甲射手的本领要好些。受上面问题的启发，对一般离散型随机变量，我们引入如下定义：定义 1:设  为离散型随机变量，其分布列为：           1 2 1 2 p p x x ，若    = i i xi p 1 +  则称：E  = i i xi p  =1 为  的数学期望或均值。〖注〗：为使 E  与级数各项的次序无关，必须要求 i i  xi p  =1 收敛；否则， E 不存在。例 1：设用一个匀称的骰子来玩游戏。在这样的游戏中，若骰子向上为 2，则玩游戏的人赢 20 元，若向上为 4 则赢 40 元，若向上为 6 则输 30 元，若其它的面向上，则玩游戏的人既不赢也不输，求玩游戏的人赢得钱数的期望和。解：令  为任何一次抛掷中赢得钱数，则         −  1/ 2 1/ 6 1/ 6 1/ 6 0 20 40 30 ~ ，则由离散型随机变量数学期望的定义可知： E = 01/ 2 + 201/ 6 + 401/ 6 − 301/ 6 = 5 从而玩游戏的人可期望赢 5 元，因此，在一个公正的游戏中，玩游戏的人为了参加游戏应当付 5 元底金。例 2：设随机变量  只取非负整数值，且其分布列为 0 (1 ) { } 1  + = = + a a a P k k k  ，试求 E 。解： 0 1 1 ) 1 ( 1 1 0 (1 ) 1 1 =   + + + = +  =    =  = + b b a a a a k a a a E k k k k k k ，令则从而有 2 ' ' 1 1 1 1 1 1 (1 ) ) 1 ) ( ) [ ] ( 1 ( b b b b k b b k b b b b b b a a k k k k k k k k k k k − = − = = =  = = +       =  =  = −  =  = 所以 a a a a a a E = + − +  +  = 2 ) 1 ) (1 1 1 1 (

3 二、连续型随机变量的数学期望由离散型随机变量数学期望的定义，我们自然可以设想取很密的分点 n x  x  x 0 1 ，将 (−,+) 分割成 n 个小区间，则  落在 , ] i i+1 （x x 内的概率等于 { } ( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 i i i i i x x i i P x x f x dx f x x f x x x i i    + = =  + −  + + −  + （积分中值定理），其中  落在 i x 与 i+1 x 之间，因此当 n → 时，  与以概率 ( )( ) i 1 i 1 i f x x − x + + 取值 i+1 x 的离散型随机变量相似，而后者的数学期望为  + + + − i i i i i x f (x )(x x ) 1 1 1 ，而这个和式的极限就是  + − xf(x)dx 。为此，对一般连续型随机变量，我们引入如下定义：定义 2：设  为连续型随机变量，其密度函数为 f (x) ，若广义积分   + + − x f (x)dx ，则称 E xf x dx  + − () = ( ) 为  的数学期望或均值。我们知道，若 f (x) 在 x 点连续时，有 f (x) = F(x) ，从而 dF(x) = f (x)dx ，所以上述定义等价于：定义 2’：设  ~ F(x) ，若   + + − xdF(x) ，则称 E( ) xdF(x)  + −  = 为  的数学期望或均值。顺便指出，该定义是数学期望的一般定义，它对于离散型和连续型随机变量都适用。例 3：设连续型随机变量      −      = 0 其它 2 1 2 0 1 ~ ( ) x x x x f x ，求 E 。解：由连续型随机变量数学期望的定义可知： 1 1 2 ( 1 3 ) 0 1 3 1 ( ) (2 ) 3 2 3 2 1 1 0 2  = = + − = + − =    + − E x f x dx x dx x x dx x x x 三、随机变量函数的数学期望我们经常需要求随机变量函数的数学期望，这时可以通过下面的定理来求随机变量函数的数学期望。定理：设  是随机变量  的函数：  = g( ) （其中 g 是连续函数）， (1)  是离散型随机变量，它的分布律为 pi = P{ = xi },i =1,2,  ，若   + i i pi g(x ) ，则有 = =  i i Pi E E[g()] g(x ) ； (2)  是连续型随机变量，其密度函数为 f (x) ，若   + + − g(x) f (x)dx ，则有

4 E E g g x f x dx  + −  = [ ()] = ( ) ( ) 。定理的证明超出了本书的范围，故略。定理的重要意义在于当我们求 E 时，不必算出  的分布律或密度函数，而只需利用  的分布律或密度函数就可以求出。例 4：设  0,1,2, ! ~ { = } = = = − e p k k p k k k     ，求 1+  1 E 。解：令   + = 1 1 ，则    −  =  =   + = + = e k k p k E k k k k 1 ! 1 1 1 0 0 =  = + 0 + 1 k 1 k ( k )!   − e  = + − e n k 1   =1 ! n n n  =  − e (e  -1)=   (1 )/ − − e         =   =0 ! n n x n x e 上述定理还可以推广到两个或两个以随机变量函数的情形：假设  是随机变量 ( ,) 的函数：  = g(,) （其中 g 是连续函数） (3) (  , )为二维离散型随机变量，其联合分布列为 { , } ij i j P = P  = x  = y ，i , j =1,2, ，若   +  =  = ij i j g xi y j P 1 1 ) ( ，则有   =  =  =   = 1 1 [ ( , )] ( , ) i j i j Pij E E g g x y ； (4)(  , )为二维连续型随机变量，其联合密度函数为 p(x, y) ，若    + + − + − g(x, y) p(x, y)dxdy ，则有 E E[g( , )] g(x, y)p(x, y)dxdy   + − + −  =   = 。例 5：设(  , )的密度函数为    +     = 0 其它 0 1,0 1 ( , ) x y x y p x y 试求  + ， 的数学期望。解：由定义知：     + = + = + = + − + − 1 0 2 1 0 E( ) (x y)p(x, y)dxdy (x y) dxdy 7 6 E() =   + − + − xyp(x, y)dxdy=  + 1 0 1 0 xy(x y)dxdy =1/3 四、数学期望的性质 1.若 a    b ，则 a  E  b 。特别地： Ec = c ，这里 a, b ,c 为常数。 2.线性性质： ci  R , i =1,2,  ,n 及 bR 有   = =  + =  + n i i i n i E ci i b c E b 1 1 ( ) 。特别地： E(c) = cE ， E( + ) = E + E

7 §3.2 方差上节课，我们研究了随即变量的重要数字特征——数学期望。它描述了随机变量一切可能取值的平均水平。但在一些实际问题中，仅知道平均值是不够的，因为它有很大的局限性，还不能够完全反映问题的实质。例如，某厂生产两类手表，甲类手表日走时误差均匀分布在 -10~10 秒之间；乙类手表日走时误差均匀分布在-20~20 秒之间，易知其数学期望均为 0，即两类手表的日走时误差平均来说都是 0。所以由此并不能比较出哪类手表走得好，但我们从直觉上易得出甲类手表比乙类手表走得较准，这是由于甲的日走时误差与其平均值偏离度较小，质量稳定。由此可见，我们有必要研究随机变量取值与其数学期望值的偏离程度——即方差。一、方差的定义与计算设  是随机变量，E  是其数学期望，则  − E 表示  与 E  之间的偏差大小，但由于绝对值对运算带来得不便，所以常用(  -E  ) 2 代替之。又因为(  -E  ) 2 仍是一随机变量，则用 E(  -E  ) 2 来描述  与其 E  的偏离程度的大小，为此有： 1.定义：设  是一随机变量，若 E(  -E  ) 2 <+  ，则称 E(  -E  ) 2 为随机变量  的方差，记为 D  （或 Var  ），即 D  =E(  -E  ) 2 ，而称 D 为  的标准差（或均方差），记为  ( ) 。由定义，显然 D   0，当  的可能取值集中在 E 附近时，D  较小，否则 D  较大。可见，其大小就反映了  与 E  的偏离程度或  取值的分散程度。 2.计算：由定义及随机变量函数的数学期望，可以推出方差的计算公式： ① D  =E  2 -(E  ) 2 事实上：D  =E(  -E  ) 2 =E[  2 -2  E  +(E  ) 2 ] =E  2 -2E  E  +(E  ) 2 =E  2 -(E  ) 2 ②当  是离散型随机变量时，则有： D  =E(  -E  ) 2 = 2 (x E) i  i − P i ，其中 P i =P{  = x i } i =1,2,3… ③若  是连续变量，则有：

《概率论与数理统计》课程教学资源（电子教案）第三章 随机变量的数字特征

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