五.行列式按行(列)展开 对于三阶行列式,容易验证: 12 13 22 23 21 23 21 23 22 23 11 12 13 33 33 33 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 问题:一个n阶行列式是否可以转化为若干个n-1阶行列式 来计算?
1 五. 行列式按行（列）展开 对于三阶行列式，容易验证： 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 3 1 3 3 2 1 2 3 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 a a a a a a a a a a a a a a = a − + 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个n－1 阶行列式 来计算？
定义1:在n阶行列式中,把元素a:所在的第i行和 第j列划去后,余下的n-1阶行列式叫做元素 的余子式。记为M 称A2=(-1)Mn为元素an的代数余子式 2 13 14 12 14 例如:D= 21…22……023……24 31 32 34 31 32 34 42 A2=(-1)3M2 2
2 定义1： 在 n 阶行列式中，把元素 ij a 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的n－1 阶行列式叫做元素 ij a 的 余子式。记为 Mij 称 ( ) ij i j Aij M + = − 1 为元素 ij a 的代数余子式。 例如： 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M = ( ) 23 2 3 A23 1 M + = − . = −M23
12 21 23 24 D 33 34 32 34 44 41………42 A2=(-1)+2M=-M1 12 12 13 = A4=(-1)+M4=M4 注:行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式
3 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 A12 1 M + = − = −M12 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( ) 44 44 4 4 A44 = − 1 M = M + 注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式
定理1:;行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和,即 D=an41+an21412+…+am1Am(i=1,2,,n) 证明:(先特殊,再一般) 分三种情况讨论,我们只对行来证明此定理。 (1)假定行列式D的第一行除a1外都是0。 D 2n n2
4 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即 D = ai1Ai1 + ai 2Ai 2 ++ ainAin (i = 1,2, ,n) 定理1： 证明： （先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。 (1) 假定行列式D的第一行除 a11 外都是 0 。 n n nn n a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 0 0 =
由行列式定义,D中仅含下面形式的项 (1 112j23j3 z(1,j2 其中(-1)lhya2,a31…an恰是Mn的一般项。 所以,D=a1M1 1+1 11111
5 由行列式定义，D 中仅含下面形式的项 n n j j nj j j j a a a a 2 3 2 3 11 2 3 (1, , , , ) ( 1) − n n j j nj j j j a a a a 2 3 2 3 2 3 (1, , , , ) 11 ( 1) = − 其中 n n j j nj j j j a a a 2 3 2 3 2 3 (1, , , , ) ( 1) − 恰是 M11 的一般项。 所以， D = a11M11 11 1 1 11 a ( 1) M + = − = a11A11
(2)设D的第i行除了an外都是0。 D=0 0把D转化为(1)的情形 nI nn 把D的第i行依次与第i-1行,第i-2行, 第2行,第1行交换;再将第j列依次与第j-1列, 第j-2列,……第2列,第1列交换,这样共经过 (-1)+(j-1)=i+j-2次交换行与交换列的步骤
6 (2) 设 D 的第 i 行除了 ij a 外都是 0 。 n nj nn ij j n a a a a a a a D 1 11 1 1 = 0 0 把D转化为(1)的情形 把 D 的第 i 行依次与第 i − 1 行，第 i − 2 行，······， 第2行，第1行交换；再将第 j 列依次与第 j − 1 列， 第 j − 2 列，······，第2列，第1列交换，这样共经过 (i − 1) + ( j − 1) = i + j − 2 次交换行与交换列的步骤
由性质2,行列式互换两行(列)行列式变号, 得, 0 0 D=(-1) =(-1)anMn=(-1)An
7 由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号， 得， nj n j nn i j i j i n i j i j a a a a a a a D , 1 1, 1, 1 1, 2 0 0 ( 1) − − − − − + − = − ij i j ij ij i j a M A + + = (−1) = (−1)
(3)一般情形 n D=ai ai2 n 2 n 1 In =an1+0+…+00+a2+…+0…0+…+0+an 2
8 (3) 一般情形 n n nn i i in n a a a a a a a a a D 1 2 1 2 11 12 1 = n n nn i i i n n a a a a a a a a a 1 2 1 2 11 12 1 = + 0 + + 0 0 + + + 0 0 + + 0 +
In 11 n In 0+0 0+…+00 il 2 2 2 =anAn+a242+…+anA(i=1,2,,n)证毕。 3-53 例如,行列式D=0-10按第一行展开,得 D=-3 +3
9 n n nn i n a a a a a a a 1 2 1 11 12 1 = 0 0 n n nn i n a a a a a a a 1 2 2 11 12 1 + 0 0 n n nn in n a a a a a a a 1 2 11 12 1 + + 0 0 = ai1Ai1 + ai 2Ai 2 ++ ainAin (i = 1,2, ,n) 例如，行列式 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − D = 7 2 1 0 3 − D = − 按第一行展开，得 7 2 0 0 + 5 7 7 0 1 3 − + 证毕
定理2:行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零,即 an141+ak2412+…+amAn=0,k≠i 证明:由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。 2 在D 中,如果令第i行的元素等于 2 an另外一行,譬如第k行的元素
10 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即 0, . 1 1 2 2 a A a A a A k i k i + k i ++ kn i n = 定理2： 证明： 由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。 在 n n nn k k kn i i in n a a a a a a a a a a a a D 1 2 1 2 1 2 11 12 1 = 中，如果令第i 行的元素等于 另外一行，譬如第k 行的元素