《高等数学》课程教学资源：第四章 不定积分（4.3）分部积分法

§43交积分法 高等数学

高 等 数 学

、基本内容 问题[xedr=? 解决思路利用两个函数乘积的求导法则 设函数u=l(x)和v=v(x)具有连续导数, (uv)=u'v+uv, uv=(uv)-u'v, uva=uv-u'vdr, udy=uv- vdu 分部积分公式

问题  xe dx  ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u  u( x)和v  v( x)具有连续导数, uv   uv  uv ,  uv uv   uv,    uv dx uv u vdx,       udv uv vdu.     分部积分公式 一、基本内容

例1求积分「 x cosr 解(-)令u=c0sx,则alu=- sin xdx dv= xdx ==dx 2 udv=uv xcos xar cos xd ix =cosx+ sInar 2 2 显然,u,v选择不当,积分更难进行 解(二)令M=x dv=cos xdx =d sin x du= dx 1三SlnX ∫ x cos xdx=∫ xd sin x= xsin-. jsinxdx =sinx+ cosx+C

例1 求积分 cos .  x xdx 解（一） 令u  cos x, 2 2 1 dv  xdx  dx  xcos xdx    xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然，u,v选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u  x, dv  cos xdx  d sin x  xcos xdx   xd sin x   xsin x  sin xdx  xsin x  cos x  C. 则du  sin xdx du  dx 2 2 1 则v  x v  sin x 2 2 1 cos xd x   udv uv vdu.    

例2求积分∫e 解 u= d dv=edx=de 则alu=2xx x xe dx=x de =xter-2 xe dx (再次使用分部积分法) u= dv=e dx Udu=dx 1V三已 xe-2(xe -e )+C. 总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函 数为u,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)

例2 求积分 . 2  x e dx x 解 , 2 u  x , x x dv  e dx  de  x e dx 2 x   x e  xe dx x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x     （再次使用分部积分法） u  x, dv e dx x  总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) x 则 du 2xdx v e 则du  dx x v  e   x x de 2

例3求积分 arctan xdx 解令= arctan、bhy=h=a灯 2 则a X 1+x arctan xdx= arctan- d(arctan x) 2 2 x21 arctan x 2 21+x 2 arctan (1 Ddx 2 1+x x 2 rctanx-(x-arctan x)+C

例3 求积分 arctan .  x xdx 解 令 u  arctan x , 2 2 x dv xdx d  xarctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x    dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2      dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2       ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x     dx x du 2 1 1  则  2 2 x v 

例4求积分x3nxdx 解 u=Inx) dv=xdx=d 4 X r X x' Inxdx r nx xdx x Inx x+c 16 总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积,就考虑设对数函 数或反三角函数为u

例4 求积分 ln . 3  x xdx 解 u  ln x, , 4 4 3 x dv  x dx  d  x ln xdx 3   x x  x dx 4 3 4 1 ln 4 1 . 16 1 ln 4 1 4 4  x x  x  C 总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为u. dx x du 1 则  4 4 x v 

六例5求积分Jim(mx) 解」 sin(nx)dx=xsi(mx)- xd[sin(Inx)) xsin(nx)-xcos(mx)·d -xsin(Inx coS(nx)ax x sin(nx)-xcos(nx+diCos(n x)I x[sin(In x)-cos(Inx)1-sin(In x)dx ∴∫sin(nx)dx=|sin(nx)-cs(mx)+C

例5 求积分 sin(ln ) .  x dx 解 sin(ln x)dx   xsin(ln x)  xd[sin(ln x)]     dx x x x x x 1 sin(ln ) cos(ln )   xsin(ln x)  xcos(ln x)  xd[cos(ln x)]   x[sin(ln x)  cos(ln x)] sin(ln x)dx sin(ln x)dx [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x x C x      x sin(ln x)  cos(ln x)dx

例6求积分 e sin xd 解∫e^ sinad=S since =e sinx-e d(sin x e"]e cos xdx=e sin x- cos rae e-sinx-(e cos- d cos x) =e(six-c0sx)esix注意循环形式 . e sinxdx=(sinx-cos x)+C

例6 求积分 sin .  e xdx x 解  e xdx x sin   x sin xde   e sin x  e d(sin x) x x   e x  e xdx x x sin cos    x x e sin x cos xde   e sin x  (e cos x  e d cos x) x x x   e x  x  e xdx x x (sin cos ) sin  e xdx x sin (sin cos ) . 2 x x C e x    注意循环形式

例8已知(x)的一个原函数是e2,求xf(x)t 解∫x"(x)dk=jxy(x=xf(x)-∫f(x)t, lf(x)dx =f(x),. f()dx=e-x+C, 两边同时对x求导,得∫(x)=-2xe, ∫f(x)tc=y(x)-∫f(x -2x2e +c

例 8 已知 f (x)的一个原函数是 2 x e  , 求 xf (x)dx. 解  xf ( x)dx   xdf (x) ( ) ( ) ,   xf x  f x dx ( ) , 2      f x dx e C x  f (x)dx  f (x),    两边同时对 x求导, 得 ( ) 2 , 2 x f x xe        xf (x)dx  xf (x)  f (x)dx 2 2 2 x x e    . 2 e C x   

合理选择L,ν,正确使用分部积 分公式 ∫upt=-Jhtc

合理选择 ，正确使用分部积 分公式 u,v uv dx uv u vdx       二、小结