§31值定理 高等数学
高 等 数 学
费马定理设函数f(x)在x0的某邻域U(xo)上有定义, 并且在点x0处可导,如果对任意x∈U(x0) 有f(x)≤f(x),或f(x)f(x, 即在x取到极值,则f(x)=0。 证明:不失一般性。设∫(x)在点x=c取到最大值, 则∫(x)≤f(c),x∈(a,b)。 .当xc时,有 f∫(x)-f∫(c) 0 X-c f+(c)=lim f(x)-f(c) xe+x-c≤0;从而∫(=0
0; ( ) ( ) , − − x c f x f c 当x c时 有 费马定理 设函数 f (x)在x0 的某邻域U(x0 )上有定义， 并且在点x0 处可导，如果对任意x∈ U(x0 ), 有f (x)≤ f (x0 ) , 或f (x)≥f (x0 ), 即在x0取到极值，则f (x0 )=0。 0; ( ) ( ) ( ) lim − − = → − − x c f x f c f c x c 由极限的保号性 证明：不失一般性。设 f (x)在点 x = c 取到最大值， 则 f (x) f(c)，x(a,b)。 0; ( ) ( ) , − − x c f x f c 当x c时 有 0; ( ) ( ) ( ) lim − − = → + + x c f x f c f c x c 从而 f (c)=0
罗尔(Role)定理 罗尔(Rol)定理如果函数f(x)在闭区间a,b 上连续2在开区间(a,b)内可导且在区间端点的函 数值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b内至少有一点 2(a<ξ<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零, 即f∫(2)=0 例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1) 在[-1,3上连续,在(-13)上可导,且f(-1)=f(3)=0, ∫(x)=2(x-1),取ξ=1,(l∈(-1,3)∫(ξ)=0
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 (1) (2) (3) 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, f (x) = 2(x −1), 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0. 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b] 上连续, 那末在(a,b)内至少有一点 (a b),使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = 在开区间(a,b)内可导, 且在区间端点的函 数值相等，即 f (a) = f (b)
几何解释: C y=∫(x) 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切线是 水平的 0 a s2 bx 物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零 点击图片任意处播放暂停
点击图片任意处播放\暂停 物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零. 几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C
证∵f(x)在{a,b连续,必有最大值M和最小值m (1)若M=m.则f(x)=M 由此得f(x)=0.Vξ∈(a,b),都有∫(2)=0. (2)若M≠m.∵f(a)=f(b) ∵最值不可能同时在端点取得. 设M≠f(a) 则在(a,b)内至少存在一点号使f()=M. ∫(ξ+△x)≤∫(ξ),∴∫(ξ+△x)-f(ξ)≤0
证 (1) 若 M = m. f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0
若Ax>0,则有(+A0)-(5)<0 若Ax<0.,则有f(5+A)-(5)20 △ f∫()=lm f(+△x)-f(5) ≥0 △飞 f(5=lim f(5+Ax)-f(2) ≤0;∵∫(ξ)存在, △x→0 △x ∫()=∫().∴只有∫(2)=0
若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → − − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → + + x f x f f x f ()存在, () = (). − + f f 只有 f () = 0
注意若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立 例如,y=x,x∈[-2,2]; 在[-2,2上除∫(0)不存在外,满足罗尔定理 的一切条件,但在区间[-2,2内找不到一点能 使∫(x)=0 又例如,y= 1-x,x∈(0,1 0x=0 y=x,x∈[0,1
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y = x , x[−2,2]; , [ 2,2] (0) , 的一切条件 在 − 上除 f 不存在外 满足罗尔定理 ( ) 0. [-2 2] 使 f x = 但在区间 ， 内找不到一点能 ; 0, 0 1 , (0,1] = − = x x x y y = x, x[0,1]. 又例如
例1证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于 1的正实根 证设∫(x)=x3-5x+,则∫(x)在0,1连续, 且∫(0)=1,∫(1)=-3 由零点定理 彐x∈(0,1),使f(x0)=0.即为方程的小于1的正实根 设另有x1∈(0,1),x1≠x0,使∫(x1)=0 f(x)在xn,x1之间满足罗尔定理的条件, 至少存在一个5(在x,x1之间),使得∫()=0 但∫(x)=5(x4-1)<0,(x∈(0,1)矛盾,∴为唯一实根
例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证 ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由零点定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 设另有 x1 x1 x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 f () = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f x = x − 0, (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根
拉格朗日( Lagrange)中值定理 拉格朗日( Lagrange)中值定理如果函数/()在 闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式 f(b)-f(a)=f(2)(b-a)成立 注意:与罗尔定理相比条件中去掉了∫(a)=f(b) 结论亦可写成f(b)-f(a
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1) (2) 注意:与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) = f (b). ( ). ( ) ( ) = − − f b a f b f a 结论亦可写成 如果函数 f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间 (a,b)内可导, 那末在 (a,b)内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立
几何解释: B 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切 D 线平行于弦AB 81x 与2b 证分析:条件中与罗尔定理相差f(a)=∫(b) 弦AB方程为y=f(a)+ f(b)-∫(an) X-l b-a 曲线f(x)减去弦AB, 所得曲线a,b两端点的函数值相等
o a 1 x 2 b x y y = f (x) A B C N D M 几何解释: . , AB C AB 线平行于弦 一点 在该点处的切 在曲线弧 上至少有 证 分析: 条件中与罗尔定理相差f (a) = f (b). 弦AB方程为 ( ). ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − − − = + 曲线 f (x) 减去弦 AB, 所得曲线a,b两端点的函数值相等