26隐。数的导数 高等数学
高 等 数 学
隐函数的导数 定义由方程所确定的函数y=y(x)称为隐函数 y=f(x)形式称为显函数 F(x,y)=0y=∫(x)隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
一、隐函数的导数 定义: 由方程所确定的函数 y = y(x)称为隐函数. y = f (x) 形式称为显函数. F(x, y) = 0 y = f (x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
例1*求由方程xy-e2+e"=0所确定的隐函数 y的导数 dx dx 解方程两边对求导 dh y+x " e 0 d x 解得小 e 由原方程知x=0,y=0, dx x+e 小y e -y xte'ly=
例1* , . 0 =0 − + = x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对x求导, + − + = 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy + − = 由原方程知 x = 0, y = 0, 0 0 0 = = = + − = y y x x x x e e y dx dy = 1
例2求由方程y3+2y-x-3x=0所确定的 隐函数y在x=0处的导数 解:把方程两边分别对x求导,由于方程 两边的导数相等,所以 5y dx +2 1-21x°=0 y1+21x 由此得 x5y+2 因为当时x=0,从原方程得 y=0,所以 dlx=0
例2 求由方程y 5 + 2y − x −3x 7 = 0所确定的 0 . =0 = dx x dy 隐函数y在x 处的导数 解: 把方程两边分别对x求导，由于方程 两边的导数相等，所以 5 2 1 21 0. 4 6 + − − x = dx dy dx dy y 由此得 。 5 2 1 21 4 6 + + = y x dx dy 因为当时x = 0，从原方程得2 1 0 = 0, = dx x= dy y 所以
例3求椭圆x+=1在点2,33处的切线方程 解:由导数的几何意义知道,所求切线 的斜率为k=y12 把椭圆方程的两边分别对求导,有 2 O 从而 dy 9x 16 当x=2,y=33,代入上式得 √3 dx 4 于是所求切线方程为 4 √3x+4y-83=0
3 4 3 23 2, x o y 3 . 23 1 2, 16 9 3 2 2 例 求椭圆 在点 处的切线方程 + = x y 解:由导数的几何意义知道,所求切线 ' . =2 = x 的斜率为 k y 把椭圆方程的两边分别对求导,有 . 0, 92 8 + = dx dy y x . 169 yx dx dy 从而 = − 当 3,代入上式得 23 x = 2, y = 43 2 = − dx x = dy 于是所求切线方程为( 2), 43 3 23 y − = − x − 即 3 x + 4 y − 8 3 = 0
例4求由方程xy+1smy=0所确定的隐函数的二阶 导数 d 解:应用隐函数的求导方法得 +- cos y dx 2 于是 2 dx 2-cos y 上式两边再对x求导得 -2sin y 4 sIn COS y 2-COS y 上式右端分式中的y是由方程x-y×n SIn y 0 不所确定的隐函数
例 求由方程 sin 0所确定的隐函数的二阶 2 1 4 x − y + y = . 2 2 dx d y 导数 解 : 应用隐函数的求导方法,得 cos . 0 2 1 1− + = dx dy y dx dy . 2 cos 2 dx y dy − 于是 = 上式两边再对x求导,得 ( ) 2 2 2 2 cos 2sin y dx dy y dx d y − − = sin 0 2 1 上式右端分式中的y是由方程x − y + y = 所确定的隐函数. ( ) . 2 cos 4sin 3 y y − − =
例5*设曲线C的方程为x3+y3=3xy,求过C上 点(,)切线方程,并证明曲线C在该点的法 线通过原点 解方程两边对求导,3x+3yy=3y+3xy y-x 22)y-x 所求切线方程为y-,=-(3 3 )即x+y-3=0 法线方程为p-3=x3 2 J=, 显然通过原点
例5 . ) , 2 3 , 2 3 ( * 3 , 3 3 线通过原点 点 的切线方程 并证明曲线 在该点的法 设曲线 的方程为 求过 上 C C x + y = x y C 解 方程两边对x求导, 3x + 3 y y = 3 y + 3xy 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( y x y x y − − = = −1. 所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 y − = − x − 即 x + y − 3 = 0. 2 3 2 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点
例6*设x4-xgy+p4=1,求y在点(0,1)处的值 解方程两边对x求导得 4x32-y-xy+4y3y=0 代入x=0,y=1得y1x-0 将方程(1)两边再对x求导得 12x2-2y-xy"+12y2(y)2+4y3y"=0 代入x=0,y=1,y1x=0=得yx=0= 16
例6* 1, (0,1) . 设 x 4 − xy + y 4 = 求y 在点 处的值 解 方程两边对x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x − y − xy + y y = 代入 x = 0, y = 1得 ; 4 1 1 0 = = = y x y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x − y − xy + y y + y y = 得 4 1 1 0 = = = y x 代入 x = 0, y = 1, y . 16 1 1 0 = − = = y x y
、对数求导法 观察函数y= (x+1)3x-1 sInx (x+4) 2x5 方法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导 方法求出导数 对数求导法 适用范围 多个函数相乘和幂指函数u(x)(的情形
二、对数求导法 观察函数 , . ( 4) ( 1) 1 sin 2 3 x x y x x e x x y = + + − = 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围: ( ) . 多个函数相乘和幂指函数u x v ( x )的情形
例7求y=V(x=3x-4)的导数 解:先在两边取对数假定x>4)得 hy=ln(x-1)+h(x-2n(x-3)-h(x=4 上式两边对x求导,注意到y 是x的函数,得 y 2(x-1x-2x-3x-4 于是 x- X x x
( )( ) ( )( ) 例 求 的导数 3 4 1 2 7 − − − − = x x x x y ln( 1) ln( 2) ln( 3) ln( 4) 2 1 ln y = x − + x − − x − − x − 是 的函数，得 上式两边对 求导，注意到 x x y , 4 1 3 1 2 1 1 1 2 1 ' 1 − − − − − + − = x x x x y y 解 ： 先在两边取对数(假定x 4)，得 − − − − − + − = 4 1 3 1 2 1 1 1 2 ' x x x x y 于是 y