、主要内容 洛必达法则 0°,1°,∞0型 auchy 0 令 中值定理(-0型 型 0 取对数 0.∞型 F(x)=x -g=1-1 型 f·g 1/g Lagrange f (a=f(b) 中值定理 ROe导数的应用 定理 单调性,极值与最值, n=0 凹凸性,拐点,函数 Taylor 常用的 图形的描绘 中值定理 泰勒公式‖曲率;求根方法
洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 0 0 ,1 , 0 型 − 型 0 型 型 0 0 型 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 F(x) = x f (a) = f (b) n = 0 g f f g 1 = g f g f f g 1 1 1 1 − − = 取对数 令 g y = f 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法. 导数的应用 一、主要内容
1、罗尔中值定理 罗尔(Role)定理如果函数f(x)在闭区间 a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端 点的函数值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b 内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得函数f(x)在该 点的导数等于零, 即f(ξ)=0
1、罗尔中值定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数f (x)在闭区间 [a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端 点的函数值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点(a b),使得函数f (x)在该 点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f =
2、拉格朗日中值定理 拉格朗日( Lagrange)中值定理如果函数f(x) 在闭区间a,b上连续,在开区间a,b)内可导,那 末在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式 f(b)-f(a)=f(2)(b-a)成立 有限增量公式 y=∫(x+x)△x(0<<1) 增量Ay的精确表达式
2、拉格朗日中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f (x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那 末在(a,b)内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. ( ) (0 1). y = f x0 +x x 增量y的精确表达式. 有限增量公式
推论如果函数f(x)在区间上的导数恒为零 那末f(x)在区间/上是一个常数 3、柯西中值定理 柯西( Cauchy)中值定理如果函数f(x)及F(x) 在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,且F(x) 在(a,b)内每一点处均不为零,那末在(a,b)内至少 有一点ξ(a<ξ<b),使等式 f(b-f(a f(5) 成立 F(b)-F(a)F(2)
3、柯西中值定理 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且 ( ) ' F x 在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b) 内至少 有一点(a b),使等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' F f F b F a f b f a = − − 成立. 推论 ( ) . ( ) , 那末 在区间 上是一个常数 如果函数 在区间 上的导数恒为零 f x I f x I
4、洛必达法则 1°.0型及型未定式 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 2.0·∞,00-∞,0,1,型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型(0),(∞) 注意:洛必达法则的使用条件
4、洛必达法则 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 型及 型未定式 0 0 1 . 0 2 0 . 0 , − ,0 0 ,1 , 0型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ), . 0 0 ( ( ) 注意：洛必达法则的使用条件
5、泰勒中值定理 泰勒( Taylor)中值定理如果函数f(x)在含有x0 的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则 当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的 个n次多项式与一个余项Rn(x)之和: f(x)=f(x)+f(x0)(x-)+”((x-+)2 (n)(x0(x-10)+ R,(x) (n+1) 其中Rn(x)= (号) (x-x0)(在x0与x之间) (n+1)
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有 0 x 的某个开区间(a,b)内具有直到(n + 1)阶的导数,则 当x在(a,b)内 时, f ( x)可以表示为( ) x − x0 的 一 个n次多项式与一个余项R (x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 5、泰勒中值定理 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) 其中 x x 在 x 与 x 之间 n f R x n n n + + − + =
常用函数的麦克劳林公式 2n+1 xx 2n+2 sIn = x +0(x 3!5! (2n+1) 2 cosr=l.t 2 2!4!6 +…+(-1)(2mo(x20) n+1 In(1+x)=x n+1 十 十 +0(x 23 n+1 =1+x+x2+…+x+0(x") 1+x)"=1+mx+ m(m-1)2 2! m(m-1)…(m-n+1) r+o(x
常用函数的麦克劳林公式 ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 2 3 5 2 1 + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x ( ) (2 )! ( 1) 2! 4! 6! cos 1 2 2 4 6 2 n n n o x n x x x x x = − + − ++ − + ( ) 1 ( 1) 2 3 ln(1 ) 1 2 3 1 + + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x 1 ( ) 1 1 2 n n x x x o x x = + + + + + − ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 n n m x o x n m m m n x m m x m x + − − + + + − + = + +
6、导数的应用 (1)函数单调性的判定法 定理设函数y=f(x)在a,b上连续,在a,b内 可导 1如果在(a,b)内f(x)>0,那末函数y=f(x)在 Ia,b上单调增加; 2如果在(a,b内∫(x)<0,那末函数=f(x)在 a,b上单调减少
6、导数的应用 定理 [ , ] . 2 ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) . ( ) [ , ] ( , ) 0 0 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； 如果在 内 ，那末函数 在 可 导 设函数 在 上连续，在 内 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b = = = (1) 函数单调性的判定法
(2)函数的极值及其求法 定义设函数f(x)在区间(a,b内有定义,x是(a,b内 的一个点, 如果存在着点x的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x除了点x外,f(x)f(x0)均成立,就称 f(x0)是函数f(x)的一个极小值
( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , , ( ) ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 内 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x f x a b x a b 定义 (2) 函数的极值及其求法
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值 定理(必要条件)设f(x)在点x0处具有导数,且 在x处取得极值,那末必定f(x)=0 定义使导数为零的点(即方程f(x)=0的实根叫 做函数f(x)的驻点 驻点和不可导点统称为临界点
设 f (x)在 点x0 处具有导数,且 在x0处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点